有关在matlab中对信号采样及频谱的一些解释；复数的频谱，高分辨率谱，高密度谱的一些理解

本文共说明了以下问题：

一、在matlab中如何表示频率为f1，以采样率f抽样后所得到的数字信号？如此表示的依据是什么？

二、使用matlab画出的频谱(一般是幅度谱或称振幅谱)的横坐标轴的意义是什么？如何根据横坐标轴的值得到其所对应的实际频率？

三、实数序列的频谱除第零个点和第N/2个(当N为偶数时)点外（从0~N-1），其它具有共轭对称性质；复数序列呢？

四、频率分辨率指的是什么？高分辨谱和高密度谱有何区别？有何作用？

约定：对于信号cos(wt)，它是以周期为2*pi/w为周期的信号，角频率w=2*pi*f，我们经常这样称呼这个信号：它的角频率为w，频率为f Hz，周期T=1/f秒；

1）在matlab中对信号s1(t)=cos(w1t)=cos(2*pi*f1*t)进行采样，其中f1=1000Hz，根据奈奎斯特采样定理，采样频率f>=2*f1，在此我们取f=3000Hz。

在matlab中仿真也好，实际中处理的信号也罢，一般都是数字信号。而采样就是将信号数字化的一个过程，设将信号s1(t)数字化得到信号s1(n)=cos(2*pi*f1/f*n)，其中n=[0…N-1]，N为采样点数。

我们来解释一下s1(n)，为什么说s1(n)=cos(2*pi*f1/f*n)表示以采样率f对频率为f1的信号进行采样的结果呢？ 采样，顾名思义，就是对信号隔一段时间取一个值，而隔的这段时间就是采样间隔，取其倒数就是采样率了，那们我们看s1(n)=cos(2*pi*f1/f*n)，将前面的参数代入，当n=0时,s1(0)=cos(0)，当n=1时,s1(1)=cos(2*pi*1000/3000*1)，当n=2时, s1(2)=cos(2*pi*1000/3000*2)，当n=3时,s1(3)=cos(2*pi*1000/3000*3)，这是不是想当于对信号s1(t)的一个周期内采了三个样点呢？对一个频率为1000Hz的信号每周期采三个样点不就是相当于以3倍于频率的采样率进行采样呢？注意，当n=3时相当于下一个周期的起始了。

我们取采样点数N=64，即对64/3=21.3个周期，共计64/3/f1=21.3ms时长。

我们在matlab中输入以下命令：

图1

我们对图1进行一下解释，以说明图中的横坐标轴的所代表的意义。

对于信号s1(t)=cos(w1*t)，我们知道它的傅里叶变换是S1(w)=pi*[δ(w-w1)+δ(w+w1)]。

如果在-2*pi*3000/2~2*pi*3000/2范围内观察信号s1(t)的频谱，则应该在+2*pi*1000和-2*pi*1000两个频点上有两根谱线，而对采样后的数字信号，频率坐标轴范围-2*pi*3000/2~2*pi*3000/2将被归一化到-2*pi*(3000/2)/3000~2*pi*(3000/2)/3000即-pi~pi范围内，因此将在+2*pi*1000/3000和-2*pi*1000/3000即+2*pi/3和-2*pi/3的两个频点上有两根谱线。注意，此时坐标轴上的2*pi代表着3000Hz的频率范围。

另外还有一点应该明白的是，时域采样意味着频域的周期延拓，即-pi~pi上的谱线与-pi+M*2pi~+pi+M*2pi范围内的谱线是一模一样的，其中M为任意的整数。更通俗的说，a~b之间的频谱与a+M*2pi~b+M*2pi之间的频谱是一模一样的。因此-pi~0之间的频谱与pi*2pi之间的频谱是一样的。

在matlab中，如果仅简单的执行plot绘图命令，坐标横轴将是1~N，那么这1~N代表着什么呢？是的，应该代表0*2pi，应用到上面的例子即是0~3000Hz的频率范围。

其中1~N/2代表0~pi，而N/2~N代表-pi~0。

从理论上讲s1(t)=cos(2*pi*f1*t)应该在1000Hz和-1000Hz两个频点上有两根线，即应该在x1（其中x1*(3000/2) /(64/2)=1000，解得x1=21.3）上和64-x1上有两根谱线。观察图1可知，两个峰值大约对应横轴坐标为21和43=64-21两个点。

若令s2(t)=sin(w1*t)，则傅里叶变换是S1(w)=-j*pi*[δ(w-w1)-δ(w+w1)]，在matlab中执行以下命令：

则可得其频谱，如图2所示：

图2

由图可得两个峰值的位置基本与图1相同，这由其傅里叶表达式也可以得出此结论。

以上分别说明了余弦和正弦的频谱，而且余弦和正弦均是实数序列，实数序列的离散傅里叶变换(DFT)具有共轭对称性质（此性质可百度或查阅数字信号处理相关书籍或自行推导，很简单的），这从图中也可以看出。（画图时取其模值，共轭取模与原先数取模将变成相等）

2）复数的频谱

若令s3(t)=cos(w1*t)+j*sin(w1*t)，则计算其傅里叶变换可得S2(w)=pi*[δ(w-w1)+δ(w+w1)]+j*{-j*pi*[δ(w-w1)-δ(w+w1)]}=2*pi*δ(w-w1)，因此频谱中将只有一根谱线。

在matlab中输入以下命令：

图3

从图3可以看出，对于一个复数序列求频谱，它的幅度谱将不再是对称的两根谱线。其实经过类似于实数序列的推导可以得出，复数序列的频谱将不再具有类似于实数序列的共轭对称性质。

当w1为负值时会如何呢？输入以下命令计算s4(t)=cos(w1*t)+j*sin(w1*t)的频谱：

图4

对比图3和图4可知，当频率为正值时，峰值将在1~32范围内；而当频率为负值时，峰值将在33~64之间。此性质可通俗的描述如下：

对于信号s(t)=cos(2*pi*f*t)+j*sin(2*pi*f*t)，对其进行符合奈奎斯特采样定理的采样，设采样率为fs，采样点数为N，得到数字信号s(n),n=[0,…,N-1]，则对s(n)做DFT变换进行谱分析后得到S(k),k=[0,…,N-1]。观察S(k)的幅度谱，若k=0~N/2-1之间有峰值，则s(t)的频率f在0~fs/2之间；若k=N/2~N-1之间有峰值，则s(t)的频率f在-fs/2~0之间；并且有且只有一个峰值。

计算公式如下：设幅度谱峰值当k=k1时出现，则s(t)的频率为：

同理，可推出如下性质：

对于信号s(t)=cos(2*pi*f*t)-j*sin(2*pi*f*t)，对其进行符合奈奎斯特采样定理的采样，设采样率为fs，采样点数为N，得到数字信号s(n),n=[0,…,N-1]，则对s(n)做DFT变换进行谱分析后得到S(k),k=[0,…,N-1]。观察S(k)的幅度谱，若k=0~N/2-1之间有峰值，则s(t)的频率f在-fs/2~0之间；若k=N/2~N-1之间有峰值，则s(t)的频率f在0~fs/2之间；并且有且只有一个峰值。

计算公式如下：设幅度谱峰值当k=k1时出现，则s(t)的频率为：

3）下面引入一个新的概念：频率分辨率

频率分辩率是指频域取样中两相邻点间的频率间隔。更确切的说是如果某一信号含有两个频率成分f1和f2，Of=|f2-f1|，频率分辨率的概念是如果频率分辨率大于Of，对信号进行谱分析后将不能视别出其含有两个频率成分，这两个频率将混叠在一起。

以下是摘自华科姚天任《数字信号处理（第二版）》第92页的一段：

现在我们设定信号s5(t)=cos(w1*t)+sin(w2*t)，其中w1=2*pi*1000，w2=2*pi*1100

在matlab中输入以下命令计算其频谱：

图5

从图5中可以看出能够分辨出f1=1000Hz和f2=1100Hz两个频率分量。

我们利用上面的理论来计算一下此时的频率分辨率：

采样频率fs=3000Hz

采样点个数N=64

最长记录长度tp=N*(1/fs)

频率分辨率F=1/tp=fs/N=3000/64=46.875Hz

因为F<f2-f1=100Hz，因此能够分辨出两个频率分量。

下面我们作如下尝试：

第一种尝试：fs不变仍为3000Hz，即奈奎斯特定理仍然满足，大于信号s5(t)的最高频率分量1100Hz的两倍，但将采样点个数N减小为24个，在matlab中输入以下命令：

图6

第二种尝试：采样率fs升为8000Hz，即满足奈奎斯特采样定理，大于信号s5(t)的最高频率分量1100Hz的两倍，采样点个数N不变，仍为64个，在matlab中输入以下命令：

图7

由图6和图7可以看出，这两种尝试虽然满足奈奎斯特采样定理，但都不能分辨出两个频率分量，用前面的理论知识可以作如下分析：

第一种尝试的频率分辨率F=1/tp=fs/N=3000/24=125Hz>100Hz

第二种尝试的频率分辨率F=1/tp=fs/N=8000/64=125Hz>100Hz

因此以上两种尝试均不能分辨出频率间隔为100Hz的两个频率分量。

4）最后我们引用高密度谱的概念，如图6所示，频谱很不平滑，呈很明显的折线状态，我们在matlab中输入以下命令：

图8

图8是将图6中的信号在时域补了104个零后才进行谱分析的。比较图6与图8，虽然相对于图6来说图8的频率分辨率并没有增加，但其每个点所代表的频率更小了，也就是密度更高了（同样3000Hz的频率，图6中使用了24点，而图8中使用了128点），这就是高密度谱。通常可以靠补零的方式来提高频谱的密度，但补零不能提高频率分辨率。很多人在此很迷惑，在末尾加零后，使一个周期内的点数增加，必然使样点间隔更近，谱线更密，事以前看不到的谱分量就可以看到了，能够看到更多的谱，不是提高分辨力了吗？其实加零后，并没有改变原有记录的数据，原有数据的频谱一开始就存在，我们只是有的看不见，加零后只是让我们看见原来本就存在的频率，也就是说，原始数据代表的该有的频率就有，没有的频率加再多的零（极限是成连续的），也没法看见。

在数字信号处理中，高分辨率谱和高密度谱是较为易混淆的两个概念。获得高分辨率谱的途径是增加信号采样的记录时间tp，而高密度谱则是通过在时域补零得到的。高分辨谱的用途很显示，可以分辨出频率间隔更小的两个频率分量，那么高分辨率谱有什么作用呢？要想明白高密度谱的概念，就不得知道一个名词：栅栏效应。高分辨率谱就是为了减小栅栏效效的。实际信号是无限长的，其频谱是连续的，但是要用计算机对信号进行频谱分析，就必须把它截短使之成为有限长度为tp的信号，这样的截短相当于对信号加矩形窗。经过加窗截取，信号的周期变为tp,其频谱相应地由原来的连续谱变为离散谱，离散谱的谱线只在f=1/tp的整数倍的位置上才出现，于是谱线间的实际信号的谱线有可能被挡住而损失掉，这称之为栅栏效应。例如截取信号长度为tp=0.5s，则可得到的谱线为2Hz，4Hz，6Hz，8Hz，…，若信号中包含频率为7Hz的分量，则该分量将被栅栏挡住，无法显示出来。

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2023年吉林大学信息与通信工程考研高分学长备考经验

我是22上岸吉大考生，本科双非一本，通信工程专业，专业课是140+，今天给学弟学妹分享一下我的考研经验。

1、关于择校和定专业

因为我本科生就是通信工程，考研跨考风险很大，我所以选择了本专业考研，然后自己本科是一个普通一本，所以考研想提高自己的学历，所以择校一直都在考虑985211学校。

目前考研人数很多，所以目标也不敢定太高，最后决定了吉林大学，因为地理位置原因，所以报考人数相对于南方985肯定竞争小很多。而且吉林也属于水区，不会压分，即使调剂也会有优势。

我也看了很多公众号在推荐吉大通信，而且吉大通信的学硕专硕都考的一样的，分数线21年之前都是310左右，感觉不是很难，吉大也不会歧视本科，所以我一开始就坚定选择了吉林大学。

我是22考生，22年吉大通信将专硕分成了两个方向，新一代电子信息和通信工程，所以导致原本专硕40多个的名额，也对半分。

学硕去除保研和直博的人，也还有40多个名额，这就导致大家22年全部扎堆学硕，专硕没有报满。

所以今年学硕分数线涨了30左右，专硕没有招满。大家今年选择学硕专硕一定要慎重，说不定专硕爆了学硕没人报，这些都有运气充分。

2、初试经验

政治我开始的很晚，因为数学专业课就要花掉大量时间，我刷了肖八选择题，然后做了肖四选择题背了肖四大题，最后考了60几分，我觉得足够了，因为政治只适合12月份疯狂背肖四，前期不要花时间看视频，浪费时间。

英语我一直都在背单词，我自己用的扇贝APP，可以和研友一起打卡，互相监督。然后我报了班，就跟着老师的进度来的，我英语也没有花什么时间。如果跟我一样的基础很差的学生，那么推荐报班，比自己学轻松很多。

数学很早就开始了，我看了武忠祥的强化课，用了李正元的复习全书，还刷了李林的《880》《180》还有李永乐的《660》《330》等等。大家尽力而为，不要买很多资料，最后都没人怎么做，那只是自我安慰罢了。

数学不管你基础怎么样，一定要认真对待，仔仔细细打好基础，有句话说的好，基础不牢，地动山摇。

所以，现在请花大量时间在数学刷题上面，少看视频，自己多动笔动脑，视频看懂了不代表你自己会了。

只有一次次的计算吸取教训整理错误，你才会不断进步。

然后我会重点说一下专业课的学习计划，大家可以参考一下。

参考书：《电路》（第四版）邱关源，高等教育出版社；或《电路分析基础》（第三版）李瀚逊，高等教育出版社。

《数字信号处理》姚天任，华中科技大学出版社；或《数字信号处理原理及其Matlab实现》（第二版）丛玉良，电子工业出版社,2009年。

上面是学校官网给出的参考书，其实大家只需要购买邱关源的电路和姚天任的数字信号处理就够用了。

900电路与数字信号处理，一共12道大题，考6道电路大题、6道数字信号处理大题。电路中基本的东西如：基尔霍夫定律、戴维南定律年年必考，三相和二端口只考其中之一，二端口算是送分，三相学懂了也超级简单，很有机会考到满分75分。数字信号处理中因果稳定、卷积、DFT、设计滤波器、功率谱估计都是重点，年年必考，考到满分有点困难。

暑假期间完成第一轮复习，吉大专业课的参考书第一遍的作用是让大家牢记基础知识，得把课本知识吃透，还是这句话，基础不牢，地动山摇。

不过应该大多数人肯定看不进去书，反正我看不进去，太枯燥乏味了，大家可以去找一下电路和数字信号处理网课。很多免费的资源需要大家多找找，适合自己就是最好的，我之前是电路看的石群老师的，数字信号处理看的视频up主讲信号与系统的潘老师的，大家去搜，他们视频都在排名靠前。

视频不要当电视剧看，看了就不管了，看的时候一定要做笔记，在书上标记，然后一个视频看完做一下课后习题，别眼高手低，即使很简单的题目也要动手，好多人就喜欢装懂，动笔啥都不会，骗自己没有意义。

这个阶段，你肯定很多不懂的知识点，有时候纠结几天，我建议是可以找到考上的学长学姐，他们也会知道哪些是重点，给你点拨划重点，这样效率也会提升很多。

9月到11月，这段时间事情肯定会变多，但是专业课一定要放到比较重要的地位，记住他是150。你之前肯定把课和书本过了一遍或者几遍，现在只需要真题训练了。

真题刚开始做会很痛苦，无从下笔，我也是这么过来的，没关系的，稳住心态就好了，反正这又不是考研。

不会做就直接抄答案，不然咋搞，我当时就是把答案抄了几遍。然后就突然知道怎么做了，大家别听一些人说真题很珍贵，还舍不得做，大可不必，留着过年吗？真题就是拿来让我们反复浪费的。

抄答案也有方法的，我们肯定不能不带脑子抄，抄的时候要多记，比如题目给了什么条件，答案用了什么方法什么公式，就一点点记下来，遇到不知道的就可以翻看基础阶段做的笔记本，在上面找到相应知识点，用荧光笔做个标记，一周后可以把这些标记拿来翻看记忆。

12月，哪个题型不会就多做几题相似的题目，久而久之就会了。然后要考试了，一定不要去找什么模拟卷了，现在要回归基础，数学类似。

一定不要犯低级错误，把所有公式都背熟，这个阶段时间都会反正肖四上面，专业课每天抽一个小时练练手就够了，不要手生。

最后，大家按照自己的基础和能力适当调整，制定出适合自己的计划，如果按照我这个大致步骤来，你可以轻轻松松考上130+甚至140+，前提你自己没有偷工减料。

3、复试经验

复试近几年都是网上复试，都是三个环节，英语问答，综合测评，专业课抽题。前两个就是可以网上找一些模板背一下，后面的专业课抽题，涉及到本科所有科目，所以准备的意义不大，还是要看你本科的基础和临场发挥能力。

复试也不需要太害怕，如果你初试分很稳，就不是后面几名，那基本没啥问题，因为录取名单和复试名单都是差不多的，刷的都是后面几名。

今年学硕进复试的人，被刷的人都调剂去了专硕，所以吉大性价比很高，保护一志愿，而且不歧视本科。

4、后话

你只需要坐在图书馆安安静静学习就好了，别喊难喊苦了，工地上面的人哪个不比你苦，告诉你自己，你现在其实很幸运，能有这个机会改变自己，何不放手一搏？

不忘初心，方得始终。

最后祝看到这篇文章的伙伴成功上岸！

【新祥旭原创，未经允许，禁止转载与抄袭】

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