有关在matlab中对信号采样及频谱的一些解释；复数的频谱，高分辨率谱，高密度谱的一些理解

本文共说明了以下问题：

一、在matlab中如何表示频率为f1，以采样率f抽样后所得到的数字信号？如此表示的依据是什么？

二、使用matlab画出的频谱(一般是幅度谱或称振幅谱)的横坐标轴的意义是什么？如何根据横坐标轴的值得到其所对应的实际频率？

三、实数序列的频谱除第零个点和第N/2个(当N为偶数时)点外（从0~N-1），其它具有共轭对称性质；复数序列呢？

四、频率分辨率指的是什么？高分辨谱和高密度谱有何区别？有何作用？

约定：对于信号cos(wt)，它是以周期为2*pi/w为周期的信号，角频率w=2*pi*f，我们经常这样称呼这个信号：它的角频率为w，频率为f Hz，周期T=1/f秒；

1）在matlab中对信号s1(t)=cos(w1t)=cos(2*pi*f1*t)进行采样，其中f1=1000Hz，根据奈奎斯特采样定理，采样频率f>=2*f1，在此我们取f=3000Hz。

在matlab中仿真也好，实际中处理的信号也罢，一般都是数字信号。而采样就是将信号数字化的一个过程，设将信号s1(t)数字化得到信号s1(n)=cos(2*pi*f1/f*n)，其中n=[0…N-1]，N为采样点数。

我们来解释一下s1(n)，为什么说s1(n)=cos(2*pi*f1/f*n)表示以采样率f对频率为f1的信号进行采样的结果呢？ 采样，顾名思义，就是对信号隔一段时间取一个值，而隔的这段时间就是采样间隔，取其倒数就是采样率了，那们我们看s1(n)=cos(2*pi*f1/f*n)，将前面的参数代入，当n=0时,s1(0)=cos(0)，当n=1时,s1(1)=cos(2*pi*1000/3000*1)，当n=2时, s1(2)=cos(2*pi*1000/3000*2)，当n=3时,s1(3)=cos(2*pi*1000/3000*3)，这是不是想当于对信号s1(t)的一个周期内采了三个样点呢？对一个频率为1000Hz的信号每周期采三个样点不就是相当于以3倍于频率的采样率进行采样呢？注意，当n=3时相当于下一个周期的起始了。

我们取采样点数N=64，即对64/3=21.3个周期，共计64/3/f1=21.3ms时长。

我们在matlab中输入以下命令：

图1

我们对图1进行一下解释，以说明图中的横坐标轴的所代表的意义。

对于信号s1(t)=cos(w1*t)，我们知道它的傅里叶变换是S1(w)=pi*[δ(w-w1)+δ(w+w1)]。

如果在-2*pi*3000/2~2*pi*3000/2范围内观察信号s1(t)的频谱，则应该在+2*pi*1000和-2*pi*1000两个频点上有两根谱线，而对采样后的数字信号，频率坐标轴范围-2*pi*3000/2~2*pi*3000/2将被归一化到-2*pi*(3000/2)/3000~2*pi*(3000/2)/3000即-pi~pi范围内，因此将在+2*pi*1000/3000和-2*pi*1000/3000即+2*pi/3和-2*pi/3的两个频点上有两根谱线。注意，此时坐标轴上的2*pi代表着3000Hz的频率范围。

另外还有一点应该明白的是，时域采样意味着频域的周期延拓，即-pi~pi上的谱线与-pi+M*2pi~+pi+M*2pi范围内的谱线是一模一样的，其中M为任意的整数。更通俗的说，a~b之间的频谱与a+M*2pi~b+M*2pi之间的频谱是一模一样的。因此-pi~0之间的频谱与pi*2pi之间的频谱是一样的。

在matlab中，如果仅简单的执行plot绘图命令，坐标横轴将是1~N，那么这1~N代表着什么呢？是的，应该代表0*2pi，应用到上面的例子即是0~3000Hz的频率范围。

其中1~N/2代表0~pi，而N/2~N代表-pi~0。

从理论上讲s1(t)=cos(2*pi*f1*t)应该在1000Hz和-1000Hz两个频点上有两根线，即应该在x1（其中x1*(3000/2) /(64/2)=1000，解得x1=21.3）上和64-x1上有两根谱线。观察图1可知，两个峰值大约对应横轴坐标为21和43=64-21两个点。

若令s2(t)=sin(w1*t)，则傅里叶变换是S1(w)=-j*pi*[δ(w-w1)-δ(w+w1)]，在matlab中执行以下命令：

则可得其频谱，如图2所示：

图2

由图可得两个峰值的位置基本与图1相同，这由其傅里叶表达式也可以得出此结论。

以上分别说明了余弦和正弦的频谱，而且余弦和正弦均是实数序列，实数序列的离散傅里叶变换(DFT)具有共轭对称性质（此性质可百度或查阅数字信号处理相关书籍或自行推导，很简单的），这从图中也可以看出。（画图时取其模值，共轭取模与原先数取模将变成相等）

2）复数的频谱

若令s3(t)=cos(w1*t)+j*sin(w1*t)，则计算其傅里叶变换可得S2(w)=pi*[δ(w-w1)+δ(w+w1)]+j*{-j*pi*[δ(w-w1)-δ(w+w1)]}=2*pi*δ(w-w1)，因此频谱中将只有一根谱线。

在matlab中输入以下命令：

图3

从图3可以看出，对于一个复数序列求频谱，它的幅度谱将不再是对称的两根谱线。其实经过类似于实数序列的推导可以得出，复数序列的频谱将不再具有类似于实数序列的共轭对称性质。

当w1为负值时会如何呢？输入以下命令计算s4(t)=cos(w1*t)+j*sin(w1*t)的频谱：

图4

对比图3和图4可知，当频率为正值时，峰值将在1~32范围内；而当频率为负值时，峰值将在33~64之间。此性质可通俗的描述如下：

对于信号s(t)=cos(2*pi*f*t)+j*sin(2*pi*f*t)，对其进行符合奈奎斯特采样定理的采样，设采样率为fs，采样点数为N，得到数字信号s(n),n=[0,…,N-1]，则对s(n)做DFT变换进行谱分析后得到S(k),k=[0,…,N-1]。观察S(k)的幅度谱，若k=0~N/2-1之间有峰值，则s(t)的频率f在0~fs/2之间；若k=N/2~N-1之间有峰值，则s(t)的频率f在-fs/2~0之间；并且有且只有一个峰值。

计算公式如下：设幅度谱峰值当k=k1时出现，则s(t)的频率为：

同理，可推出如下性质：

对于信号s(t)=cos(2*pi*f*t)-j*sin(2*pi*f*t)，对其进行符合奈奎斯特采样定理的采样，设采样率为fs，采样点数为N，得到数字信号s(n),n=[0,…,N-1]，则对s(n)做DFT变换进行谱分析后得到S(k),k=[0,…,N-1]。观察S(k)的幅度谱，若k=0~N/2-1之间有峰值，则s(t)的频率f在-fs/2~0之间；若k=N/2~N-1之间有峰值，则s(t)的频率f在0~fs/2之间；并且有且只有一个峰值。

计算公式如下：设幅度谱峰值当k=k1时出现，则s(t)的频率为：

3）下面引入一个新的概念：频率分辨率

频率分辩率是指频域取样中两相邻点间的频率间隔。更确切的说是如果某一信号含有两个频率成分f1和f2，Of=|f2-f1|，频率分辨率的概念是如果频率分辨率大于Of，对信号进行谱分析后将不能视别出其含有两个频率成分，这两个频率将混叠在一起。

以下是摘自华科姚天任《数字信号处理（第二版）》第92页的一段：

现在我们设定信号s5(t)=cos(w1*t)+sin(w2*t)，其中w1=2*pi*1000，w2=2*pi*1100

在matlab中输入以下命令计算其频谱：

图5

从图5中可以看出能够分辨出f1=1000Hz和f2=1100Hz两个频率分量。

我们利用上面的理论来计算一下此时的频率分辨率：

采样频率fs=3000Hz

采样点个数N=64

最长记录长度tp=N*(1/fs)

频率分辨率F=1/tp=fs/N=3000/64=46.875Hz

因为F<f2-f1=100Hz，因此能够分辨出两个频率分量。

下面我们作如下尝试：

第一种尝试：fs不变仍为3000Hz，即奈奎斯特定理仍然满足，大于信号s5(t)的最高频率分量1100Hz的两倍，但将采样点个数N减小为24个，在matlab中输入以下命令：

图6

第二种尝试：采样率fs升为8000Hz，即满足奈奎斯特采样定理，大于信号s5(t)的最高频率分量1100Hz的两倍，采样点个数N不变，仍为64个，在matlab中输入以下命令：

图7

由图6和图7可以看出，这两种尝试虽然满足奈奎斯特采样定理，但都不能分辨出两个频率分量，用前面的理论知识可以作如下分析：

第一种尝试的频率分辨率F=1/tp=fs/N=3000/24=125Hz>100Hz

第二种尝试的频率分辨率F=1/tp=fs/N=8000/64=125Hz>100Hz

因此以上两种尝试均不能分辨出频率间隔为100Hz的两个频率分量。

4）最后我们引用高密度谱的概念，如图6所示，频谱很不平滑，呈很明显的折线状态，我们在matlab中输入以下命令：

图8

图8是将图6中的信号在时域补了104个零后才进行谱分析的。比较图6与图8，虽然相对于图6来说图8的频率分辨率并没有增加，但其每个点所代表的频率更小了，也就是密度更高了（同样3000Hz的频率，图6中使用了24点，而图8中使用了128点），这就是高密度谱。通常可以靠补零的方式来提高频谱的密度，但补零不能提高频率分辨率。很多人在此很迷惑，在末尾加零后，使一个周期内的点数增加，必然使样点间隔更近，谱线更密，事以前看不到的谱分量就可以看到了，能够看到更多的谱，不是提高分辨力了吗？其实加零后，并没有改变原有记录的数据，原有数据的频谱一开始就存在，我们只是有的看不见，加零后只是让我们看见原来本就存在的频率，也就是说，原始数据代表的该有的频率就有，没有的频率加再多的零（极限是成连续的），也没法看见。

在数字信号处理中，高分辨率谱和高密度谱是较为易混淆的两个概念。获得高分辨率谱的途径是增加信号采样的记录时间tp，而高密度谱则是通过在时域补零得到的。高分辨谱的用途很显示，可以分辨出频率间隔更小的两个频率分量，那么高分辨率谱有什么作用呢？要想明白高密度谱的概念，就不得知道一个名词：栅栏效应。高分辨率谱就是为了减小栅栏效效的。实际信号是无限长的，其频谱是连续的，但是要用计算机对信号进行频谱分析，就必须把它截短使之成为有限长度为tp的信号，这样的截短相当于对信号加矩形窗。经过加窗截取，信号的周期变为tp,其频谱相应地由原来的连续谱变为离散谱，离散谱的谱线只在f=1/tp的整数倍的位置上才出现，于是谱线间的实际信号的谱线有可能被挡住而损失掉，这称之为栅栏效应。例如截取信号长度为tp=0.5s，则可得到的谱线为2Hz，4Hz，6Hz，8Hz，…，若信号中包含频率为7Hz的分量，则该分量将被栅栏挡住，无法显示出来。

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基于高阶累积量和谱分析的数字调制信号识别

孙汝峰，刘顺兰

（杭州电子科技大学 通信工程学院，浙江 杭州 310018）

摘要 ：提出了一种基于高阶累积量和谱分析识别多种数字调制信号的算法。首先根据各调制信号四阶和八阶累积量的不同，定义一个特征参数实现信号的类间识别；其次根据不同调制信号二次方谱与四次方谱的不同，提取出相应的特征参数，从而实现信号的类内识别。仿真实验结果表明，该方法在较低信噪比条件下可以对2/4/8PSK、2/4/8FSK信号实现识别，且识别率较高，具有很强的实用性。

0引言

通信信号的调制识别在电子侦察和无线电监控等领域占据着十分重要的地位，主要任务是在调制信息未知的情况下确定调制信号的调制方式以及估计信号的一些参数（如载波频率、波特率等），为之后的信号分析处理提供依据。

近年来国内外提出了很多比较有效的调制信号识别方法，主要可以分为决策理论方法和特征参数模式识别方法［1-4］，其中决策论方法需要的先验知识较多［1］，相比较下特征参数模式识别的方法更为实用，常用的特征参数模式分类特征有信号的瞬时特征、高阶累积量特征、小波变换特征、谱相关特征等。参考文献［2］基于信号瞬时特征识别对噪声比较敏感，在低信噪比的环境下识别率比较低。参考文献［3］利用四阶累积量实现2PSK、4PSK和8PSK信号的分类，并证明高阶累积量对信号星座图的平移，尺度和相位旋转等变换具有不变性。这种方法对于识别少数的信号具有不错的性能，但是对于识别较多的调制信号仅仅基于高阶累积量特征的识别需要信号序列的统计信息，需要较大的样本空间才能得到良好的识别效果，无疑增加了算法复杂度，并且MFSK信号的高阶累积量值都相同，直接运用高阶累积量无法识别出MFSK信号。参考文献［4］基于小波变换，则需要信号精确的相位信息。参考文献［5］通过分析信号的谱相关平面图，提取出一组谱相关特征参数来实现对信号的识别。

本文提出一种基于高阶累积量与谱分析的调制识别方法。利用高阶累积量提取更少的特征参数对信号进行类间识别。利用不同信号经过非线性变换后谱线特征的不同提取信号的特征参数对信号进行类内识别,在低信噪比环境下实现更高的识别率。计算机仿真结果验证了算法的实用性和有效性。

1信号模型

一般情况下接收到的受噪声污染过的数字调制信号的模型可表示为［5］：

其中，k=1,2,3,...,N,N为发送码元序列的长度，Ik表示码元序列，p(t)为基带码元波形，T为码元宽度，fc为载波频率，θc为载波相位，Es为发送码元波形的能量,n(t)为零均值的高斯白噪声。

接收端对接收信号进行预处理，假设载波频率、相位、定时同步，下变频后的复基带信号可以表示为［6］:

其中，Δθc为载波相位差。

调制信号的类型不同，Ik的表达形式也不一样，具体如下：

对MPSK信号：

Ik=ak+jbk∈{ej2π(m－1)/M,m=1,2,...,M}(3)

对MFSK信号：

Ik=ej2πfkt(4)

其中，fk∈{(2m－1－M)Δf,m=1,2,...,M} ，Δf为信号的频率间隔。

2高阶累积量和高阶矩

对于一个具有零均值的复随机过程X(t)，其高阶矩定义为［7］：

Mpq=E［X(t)(p－q)X*(t)q］(5)

其中，E［·］表示求期望运算。

累积量定义为［8］：

Cpq=Cum{X(t),…,X(t),X*(t),…,X*(t)}(6)

其中，X(t)为p－q项，X*(t)为q项。Cum为累积矩，* 表示函数的共轭。

常用的累积量与矩的关系如下［9］：

C20=M20(7)

C21=M21(8)

C40=M40－3M220(9)

C42=M42－|M20|2－2M221(10)

C60=M60－15M40M20+30M320(11)

C63=M63－6M41M20－9M42M21+18M220M21+12M321(12)

C80=M80－28M20M60－35M240+420M220M40－630M420(13)

因发送信号s(t)与高斯白噪声n(t)两者独立，根据累积量的性质由式（1）可得：

Cum(x(t))=Cum(s(t))+Cum(n(t))(14)

由于零均值高斯白噪声大于二阶的累积量值为零，则式(14)也可表示为：Cum(x(t))=Cum(s(t))。即接收信号的高阶累积量值等于发送信号的高阶累积量值，据此可以消除高斯白噪声的影响。

假设符号发送概率相等，信号能量为Es，且无高斯噪声影响，采用总体平均代替统计平均的方法［10］，可以得到各种调制信号的高阶累积量理论值，具体如表1所示。

3基于信号高阶累积量实现调制信号的类间识别

分析表1可以看出，MFSK与MPSK的C80值存在着较大的差别，可以利用C80这个值实现MFSK与MPSK的类间识别。本文定义特征参数F如下：

特征参数选取信号的八阶和四阶累积量，可以减小噪声的影响，采用绝对值形式可以减小相位抖动对特征参数的影响，采用比值的形式可以消除幅度对特征参数的影响。根据表1可以得到各调制信号的F值，具体如表2所示。

4调制信号的谱线特征

由于不同的调制信号经过非线性变换后，其频谱会呈现不一样的谱线特征，因此利用谱线特征可以实现信号的类内识别。

4.1MPSK的二次方谱与四次方谱的谱线特征

对于4PSK信号，表达形式如式(2)所示，Ik如式(3)所示。不失一般性，其中ak+jbk∈22{1+j,1－j,－1+j,－1－j}，p(t)为升余弦型脉冲，滚降系数α取0<α<0.5，并假设Δθc=0。则信号二次方形式的统计期望值为：

参考文献［11］分析了信号的谱线生成特性，当E［s2(t)］具有周期时变性时，其频域（二次方谱）会产生出离散的谱线。而对4PSK信号，由式(16)可知E［s2(t)］=0，因此不具有周期时变性，所以其二次方谱不存在离散谱线。

同理，4PSK四次方形式的统计期望值为：

式(17)是一个以T为周期的函数，其频域会产生离散谱线，相应的傅里叶变换形式（信号的四次方谱）为：

同理可以分析得到，2PSK信号的二次方谱和四次方谱均存在谱线，8PSK信号的二次与四次方谱均不存在谱线。图1给出了无噪声干扰下4PSK的谱线特征图。

4.2MFSK的二次方谱的谱线特征

根据之前分析，MFSK的等效复低通信号形式可用式(2)表示，其中Ik用式(4)表示。不失一般性，p(t)为升余弦型脉冲［12］，滚降系数α取0<α<0.5。以2FSK信号为例，2FSK信号做二次方谱为：

其中，A(f)=F{p2(t)}，由于α<0.5的限制，由式(19)可知2FSK信号的二次方谱在±2Δf处有两条明显谱线。同理分析可得，4FSK信号的二次方谱在±2Δf、±6Δf处有4条谱线，8FSK信号的二次方谱在±2Δf,±6Δf,±10Δf,±14Δf处有8条谱线。

5基于信号的谱线特征实现调制信号的类内识别

对于MPSK信号，由于其不同阶数的PSK信号特征参数F的值不同，可以通过本文定义的F值实现类内识别。但是本文建议采用MPSK信号的二次方谱和四次方谱零频处是否存在谱线作为识别特征值。如果信号的二次方谱在零频位置处存在谱线，令其特征参数f1=1，否则f1=0。如果信号的四次方谱在零频位置处存在谱线，令其特征参数f2=1，否则f2=0。定义N_p=［f1,f2］，据之前的分析，MPSK信号的N_p值表示如下：

由式(20)可以实现MPSK信号的类内识别。

对于MFSK信号，由于其二次方谱的谱线个数对应信号的M值，因此这里提取特征参数N_f，如果其所测信号二次方谱中谱线的个数N_f=2，则为2FSK信号；如果N_f=4，则为4FSK信号；如果N_f=8，则为8FSK信号。

本文建议的基于高阶累积量和谱分析的数字调制信号识别流程图如图2所示。

6性能仿真与分析

设MPSK、MFSK信号的载波频率为5 kHz,采样频率为40 kHz，码元速率为1 000 b/s，且MFSK的频率间隔为5 kHz，数据长度N=2 000，加性噪声为高斯白噪声。在相同的信噪比环境下，对信号进行100次独立试验［1314］。

由于特征参数F的幅度范围比较大，为观察方便，将其划分为两段（［05］,［2080］）。分别绘制出调制信号的特征参数F随信噪比变化曲线，如图3所示。

从图3可以看出，MFSK与MPSK信号的F值都比较接近于前面计算的理论值，两者的F值存在着较为明显的差别，这就说明了可以利用F值来实现两者的类间识别。选取F=1作为类间识别的阈值，当信号的F值大于1的时候，信号判定为MPSK信号，否则判定为MFSK信号。

在实现MFSK与MPSK信号的类间识别仿真之后，利用上述所提的特征参数根据算法流程对两者进行类内识别的仿真。同一信噪比，对所有信号进行500次独立试验，取识别正确的次数和识别总次数的比值为信号的识别率，取信号的类间识别率与类内识别率的乘积作为信号的总识别率，仿真结果如图4所示。

由图4可知，采用本文建议的方法，MPSK信号在信噪比为1 dB情况下，2PSK、4PSK、8PSK信号的识别率分别为100%、85%、100%；当信噪比大于2 dB时，3种PSK信号的识别率都达到了100%。MFSK信号在信噪比为1 dB的情况下，2FSK、4FSK、8FSK信号的识别率分别为54%、67%、45%；当信噪比等于3 dB时，3种FSK信号信号的识别率达到了85%以上；当信噪比大于等于4 dB时，3种FSK信号信号的识别率达到了100%。由此可见，本文建议的方法在低信噪比下也取得了较高的识别率。MFSK信号的识别率在信噪比较低的情况下比MPSK信号的识别率要低，分析原因主要是因为受噪声影响类间识别的特征值F在信噪比低的情况下要比理论值偏大，在对MFSK信号识别时，会出现大于阈值的情况，导致判断出错。

参考文献［9］中分别采用高阶累积量的特征值和微分后的累积量构造特征值的方法来识别MPSK和MFSK信号，在相同的仿真实验环境和信号参数设置，本文方法与参考文献［9］进行性能对比试验，其对比结果如表3所示。从表3可以看出，相比参考文献［9］，在相同条件下本文所提方法的识别性能显著提高。

7结论

本文基于高阶累积量和谱分析的理论知识，定义了一个基于信号八阶累积量和四阶累积量的特征参数F，用来实现MFSK和MPSK信号的类间识别。由于高斯白噪声高于二阶的累积量值为零，因此此方法具有很好的抗噪声性能。根据不同信号的二次方谱与四次方谱的谱线特性不同，分别提取出特征参数N_p和N_f对MPSK和MFSK信号实现类内识别。计算机仿真结果表明，此方法在低信噪比的情况下可以取得理想的识别率，证明了此方法的有效性，抗噪声性能较强。

参考文献

［1］ NANDI A K,AZZOUZ E E.Algorithms for automatic modulation recognition of communication signals［J］.IEEE Transactions on Communication, 1998, 46(4):431436.

［2］ 位小记，谢红，郭慧.基于瞬时特征参数的数字调制识别算法［J］. 传感器与微系统，2011,30（1）：127130.

［3］ 陈卫东，杨绍全.利用累量不变量对MPSK信号分类［J］.西安电子科技大学学报，2002，29（2）：229232.

［4］ 胡建伟，汤建龙，杨绍全.使用小波变换的MPSK信号调制类型识别［J］.电路与系统学报，2006,11（3），130134.

［5］ 韩国栋，蔡斌，邬江兴.调制分析与识别的谱相关方法［J］.系统工程与电子技术，2001,23（3）：3436.

［6］ 徐晓瑶，刘娟,杨东.多径信道下MPSK 信号调制识别算法的研究［J］.电子技术应用，2010,36(2):103106.

［7］ PROAKIS J G． Digital communicatio （4th edition）［M］． NewYork: McGrawHillBook Co．，2001．

［8］ 刘献玲.基于累量的OFDM信号调制识别［D］.西安：西安科技大学，2007.

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