高西全 数字信号处理（第二版）习题解析

书籍名称：数字信号处理（第二版）

作者：高西全、丁玉美

出版社：西安电子科技大学出版社

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数字信号处理（高西全第四版）——第一章

时域离散信号

生活中常见的信号为模拟信号，模拟信号等间隔采样得到时域离散信号，时域离散信号便于计算机处理。

一、时域离散信号的三种表示方法

1、集合符号：

2、公式：例

3、图形：例

4、单位脉冲序列的位移加权和：

例：

二、常用典型序列

1、单位脉冲序列

2、单位阶跃信号

3、矩形序列

4、实指数序列

5、正弦序列

6、复指数序列

7、周期序列

注：N为最小整数，其中正弦函数分为三种情况，运用公式求T，1、T为整数，则周期为这个整数；2、T为有理数但是非整数，则其分式中的分子即为周期；3、为无理数，则没有周期。

三、序列的运算

1、加法和乘法：同序号的序列值对应相加和相乘

2、位移、翻转以及尺度变换,见下例图

*序列x（n-n0）中，n0>0称为延时序列，<0称为超前序列。

时域离散系统

在系统当中输入与输出的表示方法为： y(n)=T[x(n)]。时域离散系统当中最常用的是线性时不变系统，因为有些非线性时变系统可以用线性时不变系统近似。线性时不变系统便于分析、设计和实现。

一、线性系统：输入、输出之间满足线性叠加原理

*可加性与齐次性

证明方法：由原系统y(n)=T[x(n)]衍生出另外两个系统：y1(n)=T[x1(n)]、y2(n)=T[x2(n)]。证明y1(n)+ y2(n)是否等于T[x1(n)+ x2(n)]，相等则线性。

二、时不变系统：系统的运算关系不随时间变化

证明方法：证明上式成立，主要在第二个式子，从左边往右边计算，以及从右边往左边计算，看两者是否相等。

例：

*上面y(n-n0)一步，是将表达式中的所有n替换，将序列延时。

*T[x(n-n0)]一步，是将系统当中的输入信号全部换掉。

*系统表达式当中，括号内的n或者含有n的式子，其作用都是将输入信号当中的n赋值，

三、线性时不变系统及其输入与输出的关系

1、单位脉冲响应：系统对于的零状态响应

单位脉冲序列位移加权和表示一个序列时，可以在原有公式上加上即：

输入系统后，单位冲激信号通过系统得到单位冲激相应：（中间为叠加性质）

然后通过时不变性质可得

2、计算卷积的方法

图解法 ：计算步骤如下：

（1）翻褶：先在坐标轴m上画出x（m）和h（m），将h（m）以纵坐标为对称轴折叠成h（-m）。

（2）移位：将h（-m）移位n，得h（n-m）。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左移n。

（3）相乘：将h（n-m）和x（m）的对应序列值相乘。

（4）相加：把所有的乘积累加起来，即得y（n）。

解析法 ：已知两个卷积信号的解析表达式，可以直接按照卷积式计算。

3、线性卷积服从交换律，结合律和分配律。

四、系统的因果性和稳定性

1、因果系统：系统n时刻的输出值取决于n时刻以及n时刻以前的输入

判决方法：

（1） 时域判决：

先将系统函数转换为差分方程，y（n）换成h（n），x（n）换成。系统的冲激响应函数h(t)，在t<0的条件下，h(t)=0，则此系统为因果系统；如果系统的单位冲激响应在t>0时，h(t)=0，就说该系统是反因果的。

（2）S域判决：

系统函数的收敛域应该是权s平面上某一收敛轴的右半平面。换句话说，系统函数的极点只能分布在s平面上收敛轴的左半平面。

2、稳定系统：对有界输入，系统产生的输出也是有界的

判决方法：运用公式证单位冲激响应绝对值求和是有限的

*注：以上时域判决和稳定性的公式判决法，仅满足于线性时不变系统。

*若差分方程在不好求解时去分析它的线性与时不变性，则可以直接求出三者，然后观察其时不变性与线性。

线性常系数差分方程

1、

线性常系数差分方程

2、 线性常系数差分方程的求解

经典解法 ：直接数学求解

递推解法 ：递推，不容易得到解析式

一般题目当中会给出初始条件，通过初始条件一步一步递推。初始条件可能直接给出，也可能通过因果性等条件暗示。

变换域方法 ：后面学习

*附上本书答案《数字信号处理第四版高西全》

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