程佩青 数字信号处理教程（第四版）习题解析

书籍名称：数字信号处理教程（第四版）

作者：程佩青

出版社：清华大学出版社

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学糕课后答案解析

四阶RC有源高通滤波器的优化设计

摘 要 ： 为克服传统的低通到高通电路之间转换的缺陷，从优化设计的低通滤波器的传输函数着手，提出了一种通用的从低通到高通变换的新方法。理论与实际都证明了此方法能得到性能良好的高通滤波器。

0 引言

滤波器指的是一种能够使有用频率信号顺利通过，而抑制（或大为衰减）不需要的频率信号的电子装置。以往的滤波电路主要由无源元件R、L和C组成，自20世纪60年代以来，随着集成运放的迅速发展，由它和R、C组成的有源滤波电路相较无源滤波器具有不用电感、体积小、重量轻等优点而得到快速发展，且被广泛应用于数据传送、信号处理和抑制干扰等领域。

有源滤波器在人们日常生活中已占有不可或缺的重要地位，常常将其作为一个系统的一个模块，其性能的好坏，将对整个系统的性能产生决定性的影响。目前国内外对低通滤波器的相关研究已相当成熟[1]，但对高通滤波器尤其是高阶高通滤波器的研究却很少。近年来虽有开关电容式专用滤波芯片出现，但其电路噪声不尽人意。因此开展高阶RC有源高通滤波器的优化设计研究具有一定的实用价值。

1 四阶高通有源滤波器优化设计步骤

1.1 四阶低通滤波器的优化设计

二阶低通滤波器既是常用的滤波单元，又是构成高阶滤波器的基本组成单位。常见的二阶低通滤波电路主要有MFB形式和VCVS形式。由于VCVS形式的二阶低通电路具有输入阻抗很高而输出阻抗很低、所需的精密电阻与电容器件较少、对运放要求较低等优点，因此本文采用VCVS形式二阶滤波节作为组成四阶低通的基本单元。典型的二阶低通滤波电路如图1所示。

根据基尔霍夫电流定律以及运放的“虚短”、“虚断”原则，可以推导出图1的传输函数为：

根据线性网络理论[2]，并结合有源滤波器具有输入与输出便于级联而不会产生额外的干扰信号的特点，则四阶低通滤波器可由两个上述二阶滤波器的级联来实现。其电路原理图如图2所示。

可以推导出其传输函数为：

为计算方便，令R1=R2=R11=R22=1 Ω，则此时四阶低通的传输函数可表示为：

巴特沃斯低通滤波器因在通频带内具有大平坦的特点，且在过渡带与阻带内具有单调下降的幅频特性，因而被广泛应用。四阶巴特沃斯归一化低通传输函数[3]可表示为：

仔细观察其传输函数，不难发现四阶巴特沃斯低通传输函数可以用上面所述的两个二阶低通传输函数网络的级联来实现，只要将式（3）与式（4）进行对照，并令它们完全相等，则：

C1C2C11C22=1.00（5）

2C1C2C22+2C2C11C22=2.61（6）

C1C2+4C2C22+C11C22=3.41（7）

2C2+2C22=2.61（8）

从而解得：

C1=1.082，C2=0.924 1，C11=2.613，C22=0.382 5（9）

这样理论上来讲，便把四阶低通滤波器优化为了归一化的四阶低通巴特沃斯滤波器。其电路原理如图3所示。

经仿真软件仿真，此电路确实具有巴特沃斯滤波器的幅频特性。且此归一化低通滤波器为接下来高通滤波器的设计奠定了基础，同时低通滤波器4个电阻的阻值为1，也使得下一步变换成高通滤波器时电容的选择更加方便快捷。

1.2 四阶低通到四阶高通的转换与优化设计

有关低通到高通电路之间的转换方法，传统的方法是：将低通网络中每一个电阻Ri都变换为容量是1/Ri F的电容，同时将每个电容Cj换成阻值为1/Cj ?赘的电阻[4]。这时的高通滤波器的参数变为：

则归一化四阶高通滤波器的电路如图4所示。

但在实际电路中，这种简单的从低通到高通的变换通常并不能得到滤波特性较好的高通滤波器。如果仔细观察分析上述滤波网络的传输函数，如式（1）、式（2），不难发现：若滤波网络中所有的电阻都乘以一个常数f，而同时所有的电容都除以同一个相同的常数f，则滤波网络的传输函数不变（这是因为电容与电阻总是成对以乘积的形式出现），但其幅频特性却能得到大大的改善（通过仿真及实际电路观测其幅频特性得到）。

需要注意的是，这个常数的选择是需要计算的，具体的计算方法见下面的设计实例，同时还需要仿真及调试来最终确定其数值。一般在低频段其值要大一些，否则反之。

2 设计实例与仿真

2.1 设计要求

设计一高通滤波器，其技术指标为：在600 Hz处最大衰减是3 dB，在250 Hz处的最小衰减为30 dB。

2.2 设计过程

由题意得其转折频率ω0=2π×600=3 770 rad/s，先找到归一化巴特沃斯低通模型，确定滤波器阶数。由于600/240=2.5，即它要满足在2.5 rad/s处的最小衰减为30 dB。通过查找巴特沃斯幅频响应图[5]，得知四阶巴特沃斯低通滤波器满足要求。

这样就可以用上述的方法与过程来设计高通滤波器了：在图3归一化的四阶低通巴特沃斯滤波器的电路基础上，用前面所说的方法将电容换成电阻，其阻值为该电容的倒数；同时电阻换成电容，其电容值为电阻值的倒数，参数如式（9）所示，得到图4所示的归一化高通滤波器。

接下来，如何得到合适的常数f的值呢？为方便起见，先选择C′=0.1

F，则f=C/（C′×ω0）=1/（0.1×10-6×3 770）=2 653，同时通过仿真来验证，确实当其值为2 653时，具有较好的滤波特性。则此时滤波网络的参数变为： C1=C2=C11=C22=0.1

F

R1=0.924×2 653=2.45 kΩ

R2=1.082×2 653=2.87 kΩ

R11=0.383×2 653=1.01 kΩ

R22=2.614×2 653=6.93 kΩ

最后电路原理及参数值如图5所示。

2.3 仿真

本文采用Multisim 11电路仿真软件，对图4最后设计出来的带有参数的四阶高通滤波器电路进行仿真。其仿真幅频特性如图6所示。高通滤波器归一化的传递函数部分频点的幅频特征如表1所示。

从图6及表1可以清楚地看到，它在600 Hz处的最大衰减是3 dB，在250 Hz处的最小衰减为30 dB，且在通带内具有最大幅度的特性，完全满足设计的要求。

3 结论

本文主要是通过对优化设计的四阶巴特沃斯低通滤波器进行从低通到高通的变换，来优化设计四阶高通滤波器。事实证明此方法切实可行，能够满足设计要求。

参考文献

[1] 余水宝.高阶有源滤波网络的优化综合及其应用[J].科技通报，2001，17（2）：53-58.

[2] 陈昭炎.高阶带通滤波器的设计[J].嘉应学院学报，2008，25（6）：13-18.

[3] 程佩青.数字信号处理教程[M].北京：清华大学出版社，2001.

[4] [美]M.S高西，K.R莱克.现代滤波器设计：有源RC的开关电容[M].北京：科学出版社，1989.

[5] 黄根春，周靖，张望先.全国大学生电子设计竞赛教程：基于TI器件设计方法[M].北京：电子工业出版社，2011.

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