同济大学数字信号处理教程

数字信号处理是电子信息类专业同学很重要的一门专业基础课。

数字信号处理，英文全称为digital signal processing，也简称DSP。主要是用数值表示和处理的方法来研究信号的一门学科，数字信号在时间和幅度上都是离散(量化)的，现在的一些芯片，单片机、微处理器、计算机内部都是以数值来存储和运算的，与之相对应的模拟信号处理，二者都属于信号处理的范畴。现在数字信号处理器具有体积小、功耗低、精度高、可靠性高、灵活性大、易于大规模集成、可进行二维与多维处理等优点，已经逐步取代模拟信号处理器了。

关于教程

教程系统地讨论了数字信号处理的基础理论、基本概念、基本分析方法、算法、设计。课程包括四部分内容。第一部分是离散时间信号（序列）与系统的基本概念和时域、频域（包括z变换域）的分析方法与算法，包括离散傅里叶变换及其快速算法，模拟信号用数字信号处理的原理方法；第二部分为各种IIR及FIR数字滤波器的基本概念、理论、结构与设计方法；第三部分为多抽样率数字信号处理的基础理论；第四部分为数字信号处理实现中的有限字长效应。

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数字信号处理复习总结-最终版

绪论：本章介绍数字信号处理课程的基本概念。

0.1信号、系统与信号处理

1.信号及其分类

信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息。这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。

分类：

周期信号/非周期信号

确定信号/随机信号

能量信号/功率信号

连续时间信号/离散时间信号/数字信号

按自变量与函数值的取值形式不同分类：

2.系统

系统定义为处理（或变换）信号的物理设备，或者说，凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。

3.信号处理

信号处理即是用系统对信号进行某种加工。包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。所谓“数字信号处理”，就是用数值计算的方法，完成对信号的处理。

0.2 数字信号处理系统的基本组成

数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。不仅应用于数字化信号的处理，而且

也可应用于模拟信号的处理。以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。

（1）前置滤波器

将输入信号xa(t)中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。

（2）A/D变换器

在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期）取出一次xa(t)的幅度，抽样后的信号称为离散信号。在A/D变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。

（3）数字信号处理器（DSP）

（4）D/A变换器

按照预定要求，在处理器中将信号序列x(n)进行加工处理得到输出信号y(n)。由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步。

（5）模拟滤波器

把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号ya(t)。

0.3 数字信号处理的特点

（1）灵活性。（2）高精度和高稳定性。（3）便于大规模集成。（4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。

0.4 数字信号处理基本学科分支

数字信号处理（DSP）一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术——DigitalSignalProcessing，另一层是狭义的理解，为数字信号处理器——DigitalSignalProcessor。

0.5 课程内容

该课程在本科阶段主要介绍以傅里叶变换为基础的“经典”处理方法，包括：（1）离散傅里叶变换及其快速算法。（2）滤波理论（线性时不变离散时间系统，用于分离相加性组合的信号，要求信号频谱占据不同的频段）。

在研究生阶段相应课程为“现代信号处理”（AdvancedSignalProcessing）。信号对象主要是随机信号，主要内容是自适应滤波（用于分离相加性组合的信号，但频谱占据同一频段）和现代谱估计。

简答题：

1．按自变量与函数值的取值形式是否连续信号可以分成哪四种类型?

2．相对模拟信号处理，数字信号处理主要有哪些优点?

3．数字信号处理系统的基本组成有哪些？

第一章：本章概念较多，需要理解和识记的内容较多，学习时要注意。

1.1 离散时间信号

1.离散时间信号的定义

离散时间信号是指一个实数或复数的数字序列，它是整数自变量n的函数，表示为x(n)。一般由模拟信号等间隔采样得到：。 时域离散信号有三种表示方法：1）用集合符号表示 2）用公式表示 3）用图形表示

2.几种基本离散时间信号（记住定义）

（1）单位采样序列

（2）单位阶跃序列

（3）矩形序列

（4）实指数序列

（5）正弦序列

ω是正弦序列数字域的频率，单位是弧度。

对连续信号中的正弦信号进行采样，可得正弦序列。设连续信号为，它的采样值为，因此（重点）

这个式子具有一般性，它反映了由连续信号采样得到的离散序列，其数字频率与模拟频率的一般关系。另外需要说明的是，ω的单位为弧度，Ω的单位为弧度/秒。本书中，我们一律以ω表示数字域频率，而以Ω及f表示模拟域频率。

例：已知采样频率FT = 1000Hz, 则序列x（n） = cos(0.4πn) 对应的模拟频率为 ( 400π ) 弧度/s。

说明：本题旨在理解数字频率与模拟频率之间的关系：。

（6）复指数序列

复指数序列是以余弦序列为实部、正弦序列为虚部所构成的一个复数序列。

（7）周期序列(重点)

所有

存在一个最小的正整数

,满足：

,则称序列

是周期序列，周期为

。(注意：按此定义，模拟信号是周期信号，采用后的离散信号未必是周期的 )

例：正弦序列

的周期性：当

，

为整数时，

，即为周期性序列。周期

，式中，

、

限取整数，且

的取值要保证

是最小的正整数。

可分几种情况讨论如下：（1）当

为整数时，只要

，

就为最小正整数，即周期为

。 （2）当

不是整数，而是一个有理数时，设

，式中，

、

是互为素数的整数（互为素数就是两个数没有公约数），取

，则

，即周期为

。 （3）当

是无理数时，则任何

皆不能使

为正整数，这时，正弦序列不是周期性的。

例：X(n) = cos(0.4πn)的基本周期为( 5 )。

[说明] 基本周期的定义即计算公式：，其中N和k均为整数，N为基本周期（使得N为最小整数时k取值）。本题ω = 0.4π，代入上式得到：。

3.信号运算

（1）加法：两个信号之和 由同序号的序列值逐点对应相加得到。

（2）乘法：两个信号之积 由同序号的序列值逐点对应相乘得到。

（3）移位：当，序列右移（称为延时）；当，序列左移（称为超前）。

（4）翻转：

（5）尺度变换：或，其中M和N都是正整数。

当时，序列是通过取x(n)的每第M个采样形成，这种运算称为下采样。对于序列，定义如下这种运算称为上采样。

4.信号分解（重点）

任一信号x(n)可表示成单位脉冲序列的移位加权和 ：

简记为

1.2 时域离散系统

时域离散系统定义

1 线性系统（重点）

判定公式 ：若=,=则

2 时不变系统（重点）

判定公式 ：y(n)=T[x(n)] y(n-)=T[x(n-)]

例：判断下列系统是否为线性、时不变系统。（重点）

（1）；

（2）；

解 ：

（1）令：输入为

，输出为

故该系统是时不变系统。

故该系统是线性系统。

（2）

令：输入为

，输出为

，因为

故系统是时不变系统。又因为

因此系统是非线性系统。

3 线性时不变系统（LTI或者LSI系统）输入与输出之间关系（重点）：

y（n）==x（n）*h（n）

重点：线性离不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位脉冲响应的卷积

【说明】离散时间LTI系统的单位冲激响应h(n)为系统对单位冲激序列δ(n)的零状态响应。

单位冲激响应的概念非常重要。在时域，LTI系统可以由其单位冲激响应h(n)唯一确定，因此，我们常常用单位冲激响应描述 LTI 系统。在这种情况下， LTI 系统的输入输出关系可以由卷积运算描述：y（n）==x（n）*h（n）

物理意义 ： 卷积和运算具有显式意义，即可以用来确定系统的输出。如果系统确定，则其单位冲激响应是唯一的。由此，可求系统对任意输入的响应。

注意： 计算卷积和的关键是求和区间的确定。因此，常常需要绘制序列x(m) 和h(n-m)的图形。利用序列x(m) 和h(n-m)的图形可助我们方便地确定求和区间。

卷积的求解方法（重点）：

线性卷积是一种非常重要的一种运算，对它的求解，一般我们采用作图法。线性卷积满足交换律，设两序列长度分别是N和M ，线性卷积后序列的长度为N＋M－1 。

卷积的计算过程包括翻转、移位、相乘、相加四个过程。

1）将和用和表示，画出和这两个序列；

2）选择一个序列，并将其按时间翻转形成序列；

3）将移位n，得到；

4）将和相同m的序列值对应相乘后，再相加。

例：设

，

,

和

如图1所示。求

和

的卷积

。（重点）

图1

解 方法一：用图解法求卷积和。

(1) 将和用和表示(图2中(a)、(b)图)。

图2 图解法求卷积过程

(2) 将进行反折，形成(图2中(c)图)；将移位，得到(图2中(d)、(e)、(f)图)。

(3) 将和相同的序列值相乘，再相加，得到(图2中(g)图)。

再讨论解析法求线性卷积 。

用式

求解上式首先要根据和的非零值区间确定求和的上下限，的非零值区间为，的非零值区间为，或，由两个非零值区间可得的取值区间为，它们的乘积的非零值区间应满足：

和

因此

当 、时，；

当 时，；

当 时，。

与图解法结果一致。

y(n)用公式表示为

方法二：当序列和的长度分别为有限长和时，可采用“不进位乘法”求两序列线卷积。

如图1所示：，

例：两线性时不变系统级联，其单位取样响应分别为

和

，输入为

，求系统的输出

。

已知：

，

，

。

解：设第一个系统的输出为

，则

因而输出为

4. 系统因果性和稳定性的判定（重点）

1)稳定系统： 有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若，则（记住!!）

线性移不变系统是稳定系统的充要条件：(系统稳定的充分必要条件是系统的单位脉冲响应绝对可和 )（记住!!）

或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1（记住!!）

2)因果系统： 时刻的输出只由时刻之前的输入决定（记住!!）

线性移不变系统是因果系统的充要条件：（记住!!）因果系统的单位脉冲响应必然是因果序列。（记住!!）

或：其系统函数H(z)的收敛域在某圆外部：即：|z|>Rx（记住!!）

3）稳定因果系统 ：同时满足上述两个条件的系统。

线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件 ：，（记住!!）

或：H(z)的极点在单位圆内 H(z)的收敛域满足：（记住!!）

例：判断线性时不变系统的因果性、稳定性，并给出依据。（重点）

(1)；

（2）；

解 ：（1）只要，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果，则，因此系统是稳定系统。

（2）如果，，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关。

注意：如果给出的是h(n)，用上面要求记住的充要条件判断！

例：设某线性时不变系统的单位取样响应为

（ a 为实数），分析系统的因果性和稳定性。（重点）

解：讨论因果性：

因为

时，

，所以该系统是因果系统。

讨论稳定性：

∵

∴ 当

时，系统是稳定的；否则，系统不稳定。

例：设某线性时不变系统的单位取样响应为

（ a 为实数），分析系统的因果性和稳定性。（重点）

解：讨论因果性：

因为

时，

，所以该系统是非因果系统。

讨论稳定性：

∵

∴ 当时，系统是稳定的；否则，系统不稳定。

1.3 线性常系数差分方程

1 差分方程定义

卷积和是一种LTI 系统的数学模型，一般情况下，我们可以用差分方程描述LTI系统的输入输出关系。

差分方程给出了系统响应y[n]的内部关系。为得到y[n]的显式解，必须求解方程。

2差分方程求解

1经典法 2递推法 3变换域法（参见下章z域变换）（重点）

例：设系统的差分方程为

，输入序列为

，求输出序列

。

解：一阶差分方程需一个初始条件。

设初始条件为：

则

设初始条件改为：

则

该例表明，对于同一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。

几点结论（重点）

（1）对于实际系统，用递推解法求解，总是由初始条件向 n >0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向 n <0的方向递推，得到的是非因果解。因此差分方程本身不能确定该系统是因果系统还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。

（2）一个线性常系数差分方程描述的系统不一定是线性非时变系统，这和系统的初始状态有关。如果系统是因果的，一般在输入 x ( n )=0( n < n 0)时，则输出 y ( n )=0( n < n 0)，系统是线性非时变系统。

1.4 模拟信号数字处理方法

1 模拟信号数字处理框图

：模拟信号输入

预滤波：目的是限制带宽（一般使用低通滤波器）

1采样：将信号在时间上离散化

A/DC：模/数转换

2量化：将信号在幅度上离散化（量化中幅度值=采样幅度值）

3编码：将幅度值表示成二进制位（条件）

数字信号处理：对信号进行运算处理

D/AC：数/模转换（一般用采样保持电路实现：台阶状连续时间信号在采样时刻幅度发生跳变 ）

平滑滤波：滤除信号中高频成分（低通滤波器），使信号变得平滑

：输入信号经过处理后的输出信号

2．连续信号的采样

对连续信号进行理想采样，设采样脉冲，则采样输出

在讨论理想采样后，信号频谱发生的变化时，可遵循下面的思路：

1）由；2）由；

3）根据频域卷积定理，由计算出。

计算过程：

1）

2）周期信号可以用傅里叶级数展开，因此

其中系数

所以

其傅里叶变换

3）

因此，采样后信号频谱产生周期延拓，周期为Ωs，同时幅度为原来的1/T倍。这是一个非常重要的性质，应熟练掌握。

3 时域抽样定理（重点）

一个限带模拟信号，若其频谱的最高频率为，对它进行等间隔抽样而得，抽样周期为T，或抽样频率为；只有在抽样频率时，才可由准确恢复。

例：有一连续信号式中，（1）求出的周期。

（2）用采样间隔对进行采样，试写出采样信号的表达式。

（3）求出对应的时域离散信号(序列) ，并求出的周期。

解： （1）周期为

（2）

（3）x(n)的数字频率ω=0.8π，故，因而周期N=5，所以x(n)=cos(0.8πn+π/2)

简答题：（重点）

1． 是不是任意连续信号离散后，都可从离散化后的信号恢复出原来的信号？为什么？

2． 一个连续时间信号经过理想采样以后，其频谱会产生怎样的变化？在什么条件下，频谱不会产生失真？

3． 说明时域采样定理的要点？

4． 离散信号频谱函数的一般特点是什么？

5． 画出模拟信号数字处理框图。并说明各部分的作用。

名词解释：（重点）

1. 时域采样定理

2. 线性系统、时不变系统、稳定系统、因果系统

第二章：本章涉及信号及系统的频域分析方法，概念较多，但很基础，学习时要注意。

2.1 序列的傅里叶变换的定义及性质

1.定义

DTFT 是一个用来确定离散时间序列频谱的重要数学工具。

物理意义：傅里叶变换是将对信号的时域分析转换为对其在频域的分析，便于研究问题。

若序列满足绝对可和条件

则其离散时间傅里叶变换（DiscreteTimeFourierTransform-DTFT：非周期序列的傅里叶变换） 定义为

------（记住!!）

反变换定义为：

------

傅里叶变换对

例：设

，求其序列傅里叶变换。（重点）

解

当

时

(2-5)

的幅度和相位随

变化曲线如图2.1所示。

图2.1 R4(n)的幅度与相位曲线

例：试求如下序列的傅里叶变换：（重点）

（1）

（2）

（3）

（4）

解：

（1）

（2）

（3） ，

（4）

=

2.性质

1）周期性（重点）： DTFT是关于ω的周期为2π的周期函数 。

2)线性（重点） ：设

，

，那么

3）时移特性（重点）

4）频移特性

5）时域卷积定理（重点）

6）频域卷积定理

7）帕斯瓦尔定理

时域总能量等于频域一周期内总能量。

7) 幅度频谱为ω的偶函数，相位频谱为ω的奇函数。

8) X(ejω)的实部为ω的偶函数， X(ejω) 的虚部为ω的奇函数。

对称关系的总结（重点） ：

如果x[n]为复数序列，其DTFT为 X(ejω),

(a) x[n]实部的DTFT为X(ejω)的共轭对称部分 -----------

(b) x[n]虚部的DTFT 为X(ejω)的反共轭对称部分 -----------

(c) x[n]的共轭对称部分的DTFT为 X(ejω)的实部 -----------

(d) x[n] 的反共轭对称部分的DTFT 为X(ejω)的虚部 -----------

如果实序列x[n] 的 DTFT 为X(ejω),

(e) x[n]的偶对称部分的DTFT为X(ejω) 的实部 ，

-----------

(f) x[n]的奇对称部分的DTFT为 X(ejω) 的虚部 ，

-----------

例：设系统的单位取样响应，输入序列为，完成下面各题：（1）求出系统输出序列；（2）分别求出、和的傅里叶变换。（重点）

解 ：（1）

（2）

2.2 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系：

式中

2.3 序列的Z变换

1 Z变换定义(重点)

Z变换为离散时间信号与LTI系统分析的重要数学工具。给定一离散时间序列x(n)，其z变换定义 为： ------（记住!!）

其中，,。z变换存在情况下的Z变量取值范围称为收敛域 (ROC)。

注意：Z变换+不同收敛域对应不同收敛域的不同序列

序列（Z变换+收敛域）(重点)

例：求以下序列的Z变换及收敛域：（重点）

（1）；

（2）；

（3）

解 ：（1）

（2）

（3）

[说明]上题也可以改为求序列的傅立叶变换。可以利用。

2 Z变换和DTFT之间的关系(重点)

DTFT 为单位圆上的z变换。数学表达为： ------ 记住并理解!

3. 序列特性与X(z)的收敛域ROC的关系。(重点)

收敛区域要依据序列的性质而定。同时，也只有Z变换的收敛区域确定之后，才能由Z变换唯一地确定序列。

一般来来说，序列的Z变换的收敛域在Z平面上的一环状区域：

总结：a. ROC不包含任何极点。

b.有理 z 变换的收敛域ROC由其极点界定。

c. 对于有限长序列x[n],其 z 变换的收敛域ROC 为整个 z -平面，可能在 z = 0 或 z = ∞除外。只有序列为时，收敛域是整个Z平面。

d. 对于右边序列x[n],其 z变换的收敛域ROC由其离原点最远的极点确定，其形式为。

e. 对于左边序列x[n], 其 z 变换的收敛域ROC由其离原点最近的极点确定，其形式为。

f. 对于双边序列x[n], 其 z 变换的收敛域ROC环状收敛域，，其形式为公共收敛域。

4. Z反变换(重点)

常用序列的Z变换(重点--记住!!) ：

逆变换

x，C：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线

留数定理：

留数辅助定理：

利用部分分式展开：，然后利用定义域及常用序列的Z变换求解。(重点)

基本要求：用部分分式展开法求z反变换。(重点)

例：假设 ，收敛域ROC 为,则 的z反变换为( )。（重点）

说明： 本题要求掌握序列的时域特性域z变换收敛域之间的对应关系。具体说，有限长序列的z变换的ROC是怎样的，右边序列的z变换的ROC是怎样的，因果序列的z变换的ROC是怎样的，左边序列的z变换的ROC是怎样的，反因果序列的z变换的ROC是怎样的。

典型序列的z变换表达式是否记住了？这两个典型z变换对，对求z变换或逆z变换非常重要。

例：已知

，试求与

对应的所有可能的序列

。（重点）

解：同一个Z变换函数，收敛域不同，对应的序列也不同。本题没有给定收敛域，所以必须先确定收敛域。

有两个极点：，，因为收敛域总是以极点为边界，所以收敛域有以下三种情况：，，，三种收敛域对应三种不同的原序列，分别讨论如下：

（1） 对应左边序列 ∴

（2） 对应双边序列 ∴

（3） 对应右边序列 ∴

例：设

，用部分分式展开法求逆Z变换。（重点）

解：先去掉z的负幂次，以便于求解，将的分子分母同乘以，得：

将等式两端同时除以z，得：

因而得：

由收敛域知，为右边序列，得：

主要应用于单阶极点的序列。

5 Z变换的性质

1线性性质(重点)

2序列的移位性质(重点)

3序列乘以指数序列的性质(重点)

4序列乘以n的ZT

5复共轭序列的ZT

6初值定理

7终值定理

8时域卷积定理(重点)

设

则

9复卷积定理

10帕斯维尔定理

，

那么

2.4 离散时间系统的系统函数及频率响应

1 系统函数定义（重点）

一个线性时不变离散时间系统在时域中可以用它的单位取样响应来表征，即： 对等式两边取Z变换并根据时域卷积定理，有：

则： 一般称为系统的系统函数 （系统零状态响应的Z变换与输入的Z变换之比），它表征了系统的复频域特性。

2 系统函数与差分方程的关系

(给定差分方程，能计算其系统函数，或给定系统函数，能计算得到差分方程。 ) （重点）

3 频率响应（重点）

频率响应是一个重要的概念，根据频率响应，可理解滤波。

频率响应定义为系统单位冲激响应的DTFT：

（重点）

其中， |H(ejω)| 称为幅频响应， 称为相频响应。 系统的频率响应是以2π为周期的ω的连续函数，这一点和连续系统的频率响应是不同的，学习时应加以注意。若h(n)为实数，则系统的幅度响应在区间内是偶对称的，而相位响应是奇对称的。

注意 ：仅当稳定系统才有频率响应。频率响应H(ejω)可根据DTFT 与z变换之间的关系简单得到：

稳态响应的求解

结论：

对于LTI 系统，如果输入为正弦序列x(n)=cos(ω0t+φ0), 则输出响应y(n)必为相同形式的正弦序列，但需在 ω=ω0的幅频响应|H(ejω)|进行加权，并通过相频响应

在 ω=ω0的值进行移位，即：y[n]= |H(ejω0)|cos(ω0t+φ0+

)

例：假设实序列x[n]的DTFT 记为, 则其幅值 是关于ω的（偶函数）。

说明： 还记得反复强调的一句话，实序列的DTFT的幅度、实部是关于频率ω偶函数，而相位和虚部则是关于频率ω奇函数。

例：对于一LTI 离散时间系统其频率响应,如果系统输x(n) =, 响应的稳态输出响应y(n) = ( )。

说明： 将系统的频率响应写成幅度相位表达式：，则输出信号为：。这里由于给出了的具体表达式，所以需要分别计算出和之值。

4 用系统函数极点分布分析系统的因果性和稳定性（重点）

系统函数： （传输函数H(z) 为系统的单位冲激响应h（n）的Z变换。 ）

1)稳定系统： 有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若，则

线性移不变系统是稳定系统的充要条件：

或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1（牢记此结论!）

2)因果系统： 时刻的输出只由时刻之前的输入决定

线性移不变系统是因果系统的充要条件：

或：其系统函数H(z)的收敛域在某圆外部：即：|z|>Rx（牢记此结论!）

3）稳定因果系统 ：同时满足上述两个条件的系统。

线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：，

或：H(z)的极点在单位圆内H(z)的收敛域满足：（牢记此结论!）

例：.一因果LTI 离散时间系统的传输函数, 则系统的单位冲激响应为( 0.5nu（n） )。

说明： 根据传递函数求系统的单位冲激响应，其实就是将传递函数进行逆z变换，但要注意系统的因果性如何。

例：因果IIR 离散时间LTI 系统，其传输函数，则系统( 稳定)。

例：一FIR离散时间 LTI 系统总是( 稳定)。

说明： 系统的稳定性如何判断？按照教材中的说法，就是系统传递函数的收敛域如果包括“单位圆”，则系统是稳定的。如果你熟悉了序列的z变换的ROC的性质，则此题不难回答。对于因果系统来说，其单位冲激响应为因果序列，故其z变换的ROC一定是某圆外部的整个区域。而这个圆就位于离原点最远的极点上，所以，对于因果系统，如果系统传递函数的全部极点都位于单位圆以内的话，则系统是稳定的。

对于FIR系统，其单位冲激响应是一个有限长序列 ，其z变换的ROC为除了无穷远和原点之外的整个z平面，自然包括单位圆，所以FIR系统始终是稳定的。

5 系统的频率特性可由系统函数零点及极点确定

（式中，zk是极点，zi是零点；在极点处，序列x(n)的Z变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点。）

系统函数H（z）的极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷点位置及形状。

例：设一阶系统的差分方程为，，用几何法分析其幅频特性。（重点）

解：对差分方程两边取Z变换，得：

系统函数为： ，极点为，零点为，如下图左所示：

当

时，由于极点矢量长度最短，幅频特性出现峰值，随着

的增加，幅度逐渐减小，当

时，由于极点矢量长度最长，幅频特性出现谷值，随着

的增加，幅度逐渐增大，直到

时，幅频特性出现峰值，如上图右所示。

简答题：（重点）

1. 说明有限长序列、左边序列、右边序列、双边序列的概念和收敛域各是什么？

2. 说明系统频率响应的概念？系统的频率响应和系统函数是什么关系？（单位圆上（

）的系统函数就是系统的频率响应）

3. 说明FIR系统为什么始终是稳定的？

4. 怎样在z域表示离散时间LTI 系统? 答案：传输函数H(z)表示离散时间LTI 系统。

第三章：DFT是为适应计算机分析傅里叶变换规定的一种专门运算，本章是数字信号处理课程的重点章节。

前言

信号处理中会遇到几种信号形式：（1）连续周期信号（2）连续非周期信号（3）离散非周期信号（4）离散周期信号(重点)

各种信号在时域和频域之间总的来说都是傅里叶变换，但具体形式及应用是不同的。

1．连续周期信号 —— 傅里叶级数（FS）

连续周期信号

可展开成傅里叶级数：

（*）

式中，

，

为

的周期。

傅里叶级数的系数为：

幅度频谱是指各次谐波的振幅随频率的变化关系，即：

2．连续非周期信号 —— 傅里叶变换（FT）

连续非周期信号

的傅里叶变换为：

因为非周期可视为

，则离散频谱间距

，则

变成

的连续函数。

3．离散非周期信号 —— 序列的傅里叶变换（DTFT）

如果把序列看成连续时间信号的采样，采样间隔为

，则数字频率

和模拟角频率

的关系为

，且

，代入上式，得：

4．离散周期信号 —— 离散傅里叶级数（DFS）

设

是周期为

的周期序列，即：

为任意整数

表3.1 四种傅里叶变换形式的归纳

一般规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓， 一个域的连续必定对应另一个域的非周期。(重点)

3.1 离散傅里叶级数

1.周期序列的离散傅里叶级数（DFS）

说明：离散傅里叶级数系数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。

连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示，离散周期序列也可以表示成傅里叶级数形式。

周期为N的复指数序列的基频序列为

k次谐波序列为

由于，即，因而，离散傅里叶级数的所有谐波成分中只有N个是独立的。 因此在展开成离散傅里叶级数时，我们只能取N个独立的谐波分量 ，通常取k=0到(N-1)，即

（*）

式中，1/N 是习惯上采用的常数，是k次谐波的系数 。利用

将（*）式两端同乘以，并对一个周期求和

即

由于

所以也是一个以N为周期的周期序列。因此，时域离散周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍然是一个周期序列。称为离散傅里叶级数系数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。

令，则

其中，符号DFS[.]表示离散傅里叶级数正变换，IDFS[.]表示离散傅里叶级数反变换。

例：设，将以为周期进行周期延拓，得到周期序列，求的DFS。

解：

其幅度特性为：

2.周期序列的傅里叶变换

思路 ：由

利用和DTFT的频移特性，可得

傅里叶变换时域、频域对应关系：

根据序列的傅里叶变换和离散傅里叶级数频域特性，再结合连续时间信号的傅里叶变换频域特性，我们可以得出傅里叶变换时、频域的一般对应关系：连续→非周期，离散→周期 。这种对应关系很重要，要求熟记(重点)。

3.2 有限长序列的离散傅立叶变换(DFT)

说明：(Discrete Fourier Transform，DFT离散傅里叶变换)

1 定义(重点)

，0≤

≤

------（记住!!）

，0≤n≤

------记住!

其中，

应当注意，虽然和都是长度为得有限长序列 ，但他们分别是由周期序列 和截取其主周期得到的，周期为的周期序列 可以看成长度为的有限长序列周期延拓 的结果。本质上是做DFS或IDFS ，所以不能忘记它们的隐含周期性。尤其是涉及其位移特性时更要注意。(重点)

DFT的隐含周期性：(重点)

例：设

，求

的4点DFT。(重点)

解：

的4点离散傅里叶变换为：

以

为周期将

延拓成周期序列，得

：

其离散傅里叶级数为：

例：设

，求

的8点DFT。(重点)

解：

的8点离散傅里叶变换为：

以

为周期将

延拓成周期序列，得

：

其离散傅里叶级数为：

由例可见，离散傅里叶变换的结果与变换区间长度

的取值有关。

2 离散傅立叶变换与DTFT、Z变换的关系(重点)

DFT的物理意义：X（k）为x(n)的傅里叶变换在区间上的等间隔采样。为在Z平面单位圆上的点等间隔采样。

3 时域分析

记住结论：时域抽样对应频域的周期拓展，频率抽样对应时域的以周期N的周期拓展。

这可以表述为如下公式：

3.3 离散傅里叶变换的基本性质

1 线性性质

若 则

2 循环移位性质

设是长度为的有限长序列，则的点循环移位定义为（）：

循环移位的实现步骤：

3 循环卷积定理（重点）

1）设序列 h ( n )和 x ( n )的长度分别为 N 和 M 。 h ( n )与 x ( n )的 L 点循环卷积定义为

式中，L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。

2) 循环卷积矩阵

特点：

（1）第1行是序列{x(0),x(1),…,x(L－1)}的循环倒相序列。注意，如果x(n)的长度M<L，则需要在x(n)末尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。

（2）第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位形成的。

（3）矩阵的各主对角线上的序列值均相等。

循环卷积和线性卷积的区别

线性卷积：翻折—>乘加—>移位 ：y（n）=x（n）*h（n）=∑h（k）x（n-k）

循环卷积：补零—>周期延拓—>翻折—>循环移位—>对应值相加

例：计算下面给出的两个长度为4的序列 h ( n )与 x ( n )的4点和8点循环卷积。（重点）



解：按照循环卷积矩阵 写出h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为

h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为

【补充】①计算h(n)与x(n)的线性卷积？②哪一种情况下计算的循环卷积结果就等于线性卷积？

【说明】当循环卷积区间长度 L 大于等于 y ( n ) = h ( n )* x ( n )的长度时，循环卷积结果就等于线性卷积。假设 h ( n )和 x ( n )都是有限长序列，长度分别是 N 和 M 。循环卷积等于线性卷积的条件是 L ≥ N ＋ M －1。（重点）

3） 时域循环卷积定理

设h(n)和x(n)的长度分别为N和M，其L点循环卷积为

L

且

则由DFT的循环卷积定理有

4 复共轭序列的DFT

性质：设 是x(n)的复共轭序列，长度为N，，

则

例：给定一16-点实序列x（n）, 其 16-点 DFT 记为X(k), 已知X(13)= 2 + j3,则X*(3) = ( 2 + j3 )。

说明：DFT的性质。实序列的DFT的共轭对称性：X(k) ＝X*(N-k)，或X(N-k) ＝X*(k)。

5 DFT的共轭对称性（重点）

可总结出DFT的共轭对称性质：如果序列 x ( n )的DFT为 X ( k )，则 x ( n )的实部和虚部（包括j）的DFT分别为 X ( k )的共轭对称分量和共轭反对称分量；而 x ( n )的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT分别为 X ( k )的实部和虚部乘以j。

3.4 频域采样定理

离散傅里叶变换相当于信号傅里叶变换的等间隔采样，也就是说实现了频域的采样，便于计算机计算。那么是否任一序列都能用频域采样的方法去逼近呢？这是一个很吸引人的问题。

我们考虑一个任意的绝对可和的序列x(n)，它的z变换为

如果对X(z)单位圆上进行等距离采样

现在要问，这样采样以后，信息有没有损失？或者说，采样后所获得的有限长序列xN(n)能不能代表原序列x(n)。

为了弄清这个问题，我们从周期序列开始

由于

所以

也即是原非周期序列x(n)的周期延拓序列，其时域周期为频域采样点数N。在第一章我们看到，时域的采样造成频域的周期延拓，这里又对称的看到，频域采样同样造成时域的周期延拓。

因此，如果序列x(n)不是有限长的，则时域周期延拓时，必然造成混叠现象，因而一定会产生误差。

对于长度为 M 的有限长序列，只有当频域采样点数 N 大于或等于序列长度 M 时，才有

即可由频域采样值 X (k)恢复出原序列 x (n)，否则产生时域混叠现象，这就是所谓的频域采样定理。（重点）

内插公式：

3.5 DFT的应用举例

1.用DFT计算线性卷积(重点)

用循环（周期）卷积计算有限长序列的线性卷积(重点)

对周期要求：（N1、N2分别为两个序列的长度）(记住!!)

2.用DFT进行谱分析的误差问题(重点)

（1）混叠现象

利用DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换，为避免混叠失真，按照抽样定理的要求，采样频率至少是信号最高频率的两倍。

解决混叠问题的唯一方法是保证采样频率足够高 。

（2）截断效应

任何带限信号都是非时限的，任何时限信号都是非带限的。实际问题中遇到的 离散时间序列可能是非时限的、无限长序列 ，在对该序列利用DFT进行处理时，由于作DFT的点数总是有限的，因此就有一个必须将该序列截断的问题。 序列截断的过程相当于给该序列乘上一个矩形窗口函数RN(n)。如果原来序列的频谱为，矩形窗函数的频谱为，则截断后有限长序列的频谱为

截断后序列的频谱与原序列频谱必然有差别，这种差别对谱分析的影响主要表现在如下两个方面 ：

①频谱泄露： 由于矩形窗函数频谱的引入，使卷积后的频谱被展宽了，即的频谱“泄露”到其它频率处，称为频谱泄露。

在进行DFT时，由于取无限个数据是不可能的，所以序列的时域截断是必然的，泄露是难以避免的。为了尽量减少泄露的影响，截断时要根据具体的情况，选择适当形状的窗函数，如汉宁窗或汉明窗等。

②谱间干扰 。 在主谱线两边形成很多旁瓣，引起不同频率分量间的干扰(简称谱间干扰 )，特别是强信号谱的旁瓣可能湮没弱信号的主谱线，或者把强信号谱的旁瓣误认为是另一频率的信号的谱线，从而造成假信号，这样就会使谱分析产生较大偏差。 

（3）栅栏效应

由于DFT是有限长序列的频谱等间隔采样所得到的样本值，这就相当于透过一个栅栏去观察原来信号的频谱，因此必然有一些地方被栅栏所遮挡，这些被遮挡的部分就是未被采样到的部分，这种现象称为栅栏效应。由于栅栏效应总是存在的，因而可能会使信号频率中某些较大的频率分量由于被“遮挡”而无法得到反映。此时，通常在有限长序列的尾部增补若干个零值，借以改变原序列的长度。这样对加长的序列作DFT时，由于点数增加就相当于调整了原来栅栏的间隙，可以使原来得不到反映的那些较大的频率分量落在采样点上而得到反映。

产生原因说明：由傅里叶变换理论知道，若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若信号的频谱有限宽，则其持续时间必然为无限长。(重点)

如果用DFT分析连续信号的频谱，在对连续信号采样时，无法满足采样定理，那么就会出现频谱混叠 现象。解决混叠问题的唯一方法是保证采样频率足够高。当连续信号无限长或很长时，在对连续信号采样时，采样点数太多以致无法存储和计算，需要将信号截断 ，这样将导致频谱的泄漏现象 。为了尽量减少泄露的影响，截断时要根据具体的情况，选择适当形状的窗函数，如汉宁窗或汉明窗等。用DFT计算连续信号的频谱只能得到采样点上的频谱，而不能看到整个频谱，这种现象称为栅栏效应 。可以通过增加点数，因为点数增加就相当于调整了原来栅栏的间隙，可以使原来得不到反映的那些较大的频率分量落在采样点上而得到反映。

3.用DFT进行谱分析的参数选择问题(重点)

对模拟信号频谱的采样间隔，称之为频率分辨率。

（1）在已知信号的最高频率fc(即谱分析范围)时，为了避免频率混叠现象，要求采样频率Fs满足：Fs>2fc。

（2）采样频率Fs，采样点数N，谱分辨率F=Fs/N，如果保持采样点数N不变，要提高频谱分辨率(减小F)，就必须降低采样频率，采样频率的降低会引起谱分析范围变窄和频谱混叠失真。如维持Fs不变，为提高频率分辨率可以增加采样点数N。因为NT=Tp，T=Fs-1，只有增加对信号的观察时间Tp，才能增加N。

（3）采样点数N>2fc/F

（4）最小记录时间Tp≥1/F

例：用DFT对实信号进行谱分析，要求频率分辨率

，信号最高频率为

，试确定以下参数：（1）最小记录时间；（2）最大取样间隔；（3）最少采样点数；（4）若要求频率分辨率提高一倍，求最少采样点数。（重点）

解 （1）

（2）

（3）

（4）

简答题：（重点）

1. 一个序列的DFT与序列的傅里叶变换之间的关系是什么？

2. 序列的DTFT和序列的z变换间的关系是什么？序列的DFT和序列的Z变换间的关系是什么？

3. 有限长序列

的长度为M，对其进行频域采样，不失真的条件是什么？两个有限长序列

，

，对它们进行线性卷积，结果用

表示，

的长度是多少？如果进行循环卷积，那么什么时候线性卷积和循环卷积的结果相等？

4. 用DFT进行谱分析带来哪些误差问题？采取什么措施可以减少这些误差？

5. 时域采样定理的要点是什么？频域采样定理的要点是什么？

第四章：快速傅里叶变换并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种快速算法。

4.1 直接计算DFT的问题及改进的途径

直接计算DFT，需要

次复数乘法，

次复数加法。

直接计算离散傅里叶变换，由于计算量近似正比于 N 2，显然对于很大的 N 值，直接计算离散傅里叶变换要求的算术运算量非常大。(重点) 我们可以利用系数WNnk的特性来改善离散傅里叶变换的计算效率。

（1）

的对称性

（2）

的周期性

利用

的对称性和周期性，将大点数的DFT分解成若干个小点数的DFT，FFT正是基于这个基本思路发展起来的。(重点)

说明：快速傅里叶变换FFT(Fast Fourier Transform)

分类：按时间抽取（DIT）算法和按频率抽取（DIF）算法 。

4.2 基2FFT的算法原理和FFT运算特点

1）数据要求：

2）计算效率（乘法运算次数：，加法计算次数：NM ）（复数运算）

（DFT运算：乘法运算次数：，加法计算次数：）（复数运算）

对于算法原理，要求能够看懂分解流图。

1 时域抽取法如下：（Decimation In Time, DIT–FFT）

设序列 x ( n )长度为 N ，且满足 N =2 M ， M 为正整数。按 n 的奇偶把 x ( n )分解为两个 N /2点的子序列：

则x(n)的DFT为

所以

将 X ( k )又可以写为

上式将N点DFT分解为两个N/2点的DFT运算，运算过程如下图示

利用蝶形运算求解。

运算量： 由按时间抽取的FFT流图可见：

每级都由个蝶形单元构成，因此每级都需要次复数乘法和次复数加法。这样，级运算共需要：

复数乘法 ：

复数加法 ：

而直接计算DFT需要 ：

复数乘法：

复数加法：

以乘法为例，对FFT算法与直接DFT算法的运算量进行比较：

8

64

12

5.4

128

16384

448

36.6

1024

1048576

5120

204.8

可以看出：当越大时，FFT算法的优越性越突出。

DIT-FFT算法与DFT运算量的比较

直接计算DFT与FFT算法的计算量之比为

N 越大，FFT的优点越为明显

说明：掌握给定点数的基2 DIT-FFT蝶形图

8点DFT的完整FFT流图：

2频域抽样法（Decimation In Frequency, DIF–FFT）

将长度为N=2M的序列x(n)前后对半分开, 其N点DFT可表示为

按k的奇偶可将X(k)分为两部分

k取偶数时

k取奇数时

令 得到

注：DIT—FFT与DIF—FFT特点比较(重点)

相同之处 ：

（1）DIF与DIT两种算法均为原位运算

（2）DIF与DIT运算量相同

所以，DIF与DIT是两种等价的FFT算法。

不同之处 ：

（1）DIF与DIT两种算法结构倒过来

DIF的输入序列为自然顺序，输出为倒序排列，与DIT的正好相反。

（2）蝶形结构不同

DIF的复数乘法只出现在减法之后，DIT则是先作复数乘法后作加减法。

简答题：(重点)

1. 比较DIT—FFT与DIF—FFT特点。

2. 为什么要进行FFT变换？FFT变换的基本思想是什么？说明基-2FFT分成哪两种算法。说出它们的英文名称和中文含义。

( DFT的计算在数字信号处理中非常有用，但是由于DFT的计算量较大，即使采用计算机也很难对问题进行实时处理，通过引入其快速算法FFT，使DFT的计算大大简化，运算时间一般可缩短一、二个数量级。基本思路：DFT的运算量与

成正比；如果一个大点数

的DFT能分解为若干小点数DFT的组合，则显然可以达到减小运算量的效果。根据把长序列分解为短序列的分解形式不同，基-2FFT算法基本上可以分为两大类：按时间抽取法—decimation in time, DIT；按频率抽取法——decimation in frequency, DIF))

第五章：本章主要掌握IIR和FIR两种滤波器的基本网络结构。

5.1 基本单元结构

一个数字网络可以用差分方程 表示，也可以用单位脉冲响应 来表示，也可以用系统函数 来表示。但是对于研究这个系统的实现方法，即它的运算结构来说，用方框图或信号流图最直接。对于延时 、乘以系数 以及相加 这三种基本运算 来说，方框图和信号流图表示法如下图所示。

以二阶数字滤波器y(n)=b1y(n-1)+b2y(n-2)+ax(n)为例，它的方框图和信号流图如下图所示。

一般来说，用方框图表示数字滤波器，结构明显、直观；而用信号流图来表示，则简单、方便。

利用图论中的转置定理，可以把一个信号流图转化为另一个等价的信号流图。

转置定理如果将流图中所有支路方向都颠倒或反向，并交换输入x(n)和输出y(n)，则其特性保持不变，新流图是原流图的转置形式。

例如，上图中流图的转置形式如下图(a)所示，但通常的习惯是将输入x(n)画在流图的左边，而输出画在流图的右边，这样得到图(b)所示的转置结构。

5.2 无限长脉冲响应基本网络结构

IIR（Infinite Impulse Response无限长脉冲响应）滤波器具有以下特点（重点） ：单位脉冲响应h(n)无限长；系统函数H(z)在有限z平面（0<|z|<∞）上有极点存在；结构上存在从输出到输入的反馈，即结构是递归型的 。

1. 直接型

对应的系统函数为：

直接型包括直接Ⅰ型和直接Ⅱ型，书本讲授的为直接Ⅱ型。直接Ⅱ型的推导，利用到线性移不变系统，交换级联子系统的次序，系统函数不变。

对于直接Ⅱ型，要求能够直接由差分方程或系统函数绘出相应的信号流图，反之亦然。

特点：便于理解，累积误差大，运算速度相对慢。（重点）

2．级联型

对应的系统函数为：

把滤波器用若干二阶子网络级联起来构成，每个二阶子网络采用直接Ⅱ型结构来实现。

特点：级联型结构中每一个一阶网络决定一个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。相对直接型结构，其优点是调整方便，此外，运算累积误差较直接型小。（重点）

3．并联型

对应的系统函数为：

特点：每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点，调整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型方便。运算误差不积累。运算速度最高。（重点）

例：已知IIR DF的系统函数为画出直接I型、直接II型的结构流图。

解：先将化为的有理式

直接I型：

直接II型：

例：已知IIR DF的系统函数为画出级联型和并联型的结构流图。

解：级联型

并联型 ：

5.3 有限长脉冲响应基本网络结构

FIR（Finite Impulse Response有限长脉冲响应）滤波器具有以下特点（重点） ：单位脉冲响应h(n)有限长；系统函数H(z)在|z|>0处收敛，对因果系统而言，极点全部位于z=0处；结构上主要是非递归结构 ，没有输出到输入的反馈。

FIR滤波器有以下几种基本结构：直接型；级联型。

1．直接型

特点：直观明了，便于理解，但不便于调整参数。（重点）

2．级联型

将H（z）因式分解得到

特点：每一个一阶因子控制一个零点，每一个二阶因子控制一对共轭极点，调整零点位置比直接型方便，但H（z）中的系数比直接型多（近似3/2N），因而需要的乘法器多。（重点）

例：已知FIR DF的系统函数为画出直接型和级联型的结构流图。（重点）

解：直接型：

级联型：

简答题：（重点）

1. IIR和FIR滤波器的基本结构形式有哪些？各自有什么特点?

2. IIR和FIR滤波器的基本特点是什么？

名词解释：（重点）

1. IIR滤波器

2. FIR滤波器

第六章：本章讲授了设计IIR滤波器常用的两种设计方法——脉冲响应不变法和双线性变换法。

6.1 引言

1.数字滤波器的分类

（1）IIR和FIR数字滤波器（重点）

这是根据滤波器的单位脉冲响应h(n)的长度是否有限来划分的。若h(n)是一个长度为M+1的有限长序列，通常将此时的系统称为有限长单位脉冲响应（FIR，FiniteImpulseResponse）系统。

如果系统函数的分母中除a0外，还有其它的ak不为零，则相应的h(n)将是无限长序列，称这种系统为无限长单位脉冲响应（IIR，InfiniteImpulseResponse）系统。

（2）低通、高通、带通、带阻滤波器

注意：数字滤波器（DF）与模拟滤波器（AF）的区别

数字滤波器的频率响应都是以2π为周期的，滤波器的低通频带处于2π的整数倍处，而高频频带处于π的奇数倍附近。

2.设计指标描述

滤波器的指标通常在频域给出。数字滤波器的频率响应一般为复函数，通常表示为

其中，称为幅频响应 ，称为相频响应 。对IIR数字滤波器，通常用幅频响应来描述设计指标，而对于线性相位特性的滤波器，一般用FIR滤波器设计实现。

IIR低通滤波器指标描述：

——通带截止频率，——阻带截止频率，——通带最大衰减，——阻带最小衰减，——3dB通带截止频率

3.设计方法（重点）

三步：（1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。（2）用一个因果稳定的系统函数去逼近这个性能要求。（3）用一个有限精度的算法去实现这个系统函数。

IIR滤波器常借助模拟滤波器理论来设计数字滤波器 ，（重点）设计步骤为 ：先根据所给的滤波器性能指标设计出相应的模拟滤波器传递函数Ha(s)( butterworth滤波器设计法等，有封闭公式利用)，然后由Ha(s)经变换（脉冲响应不变法 或者双线性变换法 等）得到所需的数字滤波器的系统函数H(z)。在变换中，一般要求所得到的数字滤波器频率响应应保留原模拟滤波器频率响应的主要特性。为此要求：（重点）

（1）因果稳定的模拟滤波器必须变成因果稳定的数字滤波器；

（2）数字滤波器的频响应模仿模拟滤波器的频响。

6.2 脉冲响应不变法、双线性不变法设计IIR数字低通滤波器

设计数字滤波器可以按照技术要求先设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数

，再按一定的转换关系将

转换成数字低通滤波器的系统函数

。其设计流程如图所示6.1所示。

利用模拟滤波器的设计结果来求相应的数字滤波器，可以用映射的方法来实现，把s平面映射到z平面。这种由复变量s到复变量z之间的映射关系，必须满足三点要求：

图6.1 从模拟滤波器设计数字滤波器流程图

因果稳定的

映射成因果稳定的

，即 s 平面的左半平面必须映射到 z 平面单位圆的内部。（重点）

的频率响应能模仿

的频率响应，即s平面的虚轴必须映射到z平面的单位圆上。变换前后的滤波器在时域或频域的主要特征(频率响应或单位冲激响应等)应尽可能相同或接近。将传输函数

从s平面转换到z平面的方法有多种，主要有冲激不变法和双线性变换法。

1 脉冲响应不变法

设模拟滤波器的系统函数为

，相应的单位冲击响应是

，

。LT[.]代表拉氏变换，对

进行等间隔采样，采样间隔为T，得到

，将h(n)=

作为数字滤波器的单位脉冲响应，那么数字滤波器的系统函数

便是

的

变换。因此脉冲响应不变法是一种时域逼近方法，它使

在采样点上等于

。但是，模拟滤波器的设计结果是

，所以下面基于脉冲响应不变法的思想，导出直接从

到

的转换公式。

设模拟滤波器只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于多项式的阶次，将用部分分式表示： 式中为的单阶极点。将进行逆拉氏变换，得到： 式中，是单位阶跃函数。对进行等间隔采样，采样间隔为，得到：

对上式进行变换，得到数字滤波器的系统函数，即

由于冲激响应不变法（又称标准z变换法）从s平面→z平面是通过的多值映射，并不是一种简单的一一对应的代数映射关系。脉冲响应不变法所得到的数字滤波器的频率响应，不是简单的重现模拟滤波器的频率响应，而是模拟滤波器频率频率响应的周期延拓。所以希望所设计的滤波器是带限的，否则频率混叠现象会使设计出的数字滤波器在附近的频率特性严重的偏离模拟滤波器在处的频率特性，严重时使数字滤波器的指标得不到满足。

特点（重点）

优点： 1.频率变换关系是线性的，即，如果不存在频谱混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频响特性。2.数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲击响应波形，时域特性逼近好。缺点： 会产生不同程度的频谱混叠失真，其适合用于带限滤波器（低通、带通滤波器）的设计，不适合用于高通、带阻滤波器的设计。

2 双线性变换法

(这种映射法能保证使s平面与z平面建立单值对应，从而消除混叠现象)

将双线性变换带入，得

s平面的

与z平面的

成非线性正切关系。正是因为如此，双线性变换法消除了频率混叠现象。但与此同时也直接影响数字滤波器频响逼真的模仿模拟滤波器的频响。这种频率之间的非线性变换关系带来了以下两个问题：

(1) 一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器；

(2) 如果模拟滤波器的频响具有片断常数特性，则转换到z平面上，数字滤波器仍具有片断常数特性，但特性转折点频率值与模拟滤波器特性转折点频率值成非线性关系。

这种频率的畸变，可通过对频率进行预修正来予以校正。

特点（重点）

优点： 1.不产生频域混叠现象2.双线性变换法可由简单的代数公式将直接转换成。缺点： 与之间的非线性关系是双线性变换法的缺点，是数字滤波器频响曲线不能保真地模仿模拟滤波器的频响曲线形状。只适合片段常数特性的滤波器设计。

例：已知模拟滤波器传输函数为，设，用脉冲响应不变法和双线性变换法将转换为数字滤波器系统函数。

解：用脉冲响应不变法（令）将转换为数字滤波器系统函数。

。

用双线性变换法将转换为数字滤波器系统函数。

6.3 设计IIR数字滤波器的频率变换法

前面只介绍了IIR低通数字滤波器的设计方法，但是在工程上常常要设计各种截止频率的低通、高通、带通和带阻数字滤波器，这些数字滤波器的设计方法通常是在设计一个低通滤波器的基础上采用频率变换法把低通滤波器转换成所要求的滤波器。因为数字滤波器设计都是从低通滤波器开始的，所以其他类型滤波器的设计都要把给定的技术指标转换成相应的模拟低通滤波器指标进行设计，然后再转换成相应的数字滤波器指标。

这种转换方法可以在模拟域进行，也可以在数字域完成。用两种变换方法进行各种频率范围的数字滤波器的设计过程可表示如下：

(a) 模拟频率变换法设计流程

(b) 数字频率变换法设计流程

图6.2 频率变换法设计数字滤波器流程

上面两种方法中模拟低通滤波器的技术指标可根据所设计的技术指标转换获得。也可给定一组相应指标进行设计，然后以此滤波器为基础进行各种变换。设计好的滤波器必须求其频率特性，进行指标验证。如果不满足给定数字滤波器指标，则需要修改模拟指标重新设计。

简答题：（重点）

1． 分析采用双线性变换法将该模拟滤波器转换成数字滤波器，数字滤波器的频率特性相对原模拟滤波器频率特性是否有失真，为什么？

2． 是否可以用脉冲响应不变法或双线性变换法把模拟带阻滤波器变换成数字带阻滤波器，为什么？

（答案：可以用双线性变换法把模拟带阻滤波器变换成数字带阻滤波器，但不能用脉冲响应不变法把模拟带阻滤波器变换成数字带阻滤波器。因为脉冲响应不变法中从s平面到z平面的映射是多值映射，将模拟带阻滤波器变成数字带阻滤波器会存在频率响应的混叠失真，而双线性变换法从中从s平面到z平面的映射是一一对应的，不存在频率响应的混叠失真。）

3. 说明脉冲响应不变法和双线性变换法各自的优点和缺点和适应范围？

4. 说明IIR数字滤波器间接设计法（由模拟滤波器到数字滤波器）的基本思想和设计要求。

名词解释：（重点）

1. IIR数字滤波器间接设计法

2. 双线性变换法（双线性变换法是为克服脉冲响应不变法频率混叠现象提出的，其思想是将s平面上的点经过和二次映射到z平面。双线性变换法的优点是不会产生频率混叠，但却引入频率的非线性失真。）

3. 脉冲响应不变法（脉冲响应不变法思想是把模拟滤波器的单位冲激响应经过采样作为相应数字滤波器的单位冲激响应。其

平面和

平面的映射关系为：

。冲激不变法的优点是数字频率和模拟频率为线性关系即：

。缺点是会产生频率混叠，适用低通设计。）

第七章：本章主要讲授线性相位FIR滤波器常用的设计方法——窗函数法

7.1 线性相位FIR滤波器的特点（重点）

特点：可实现严格的线性相位特性、系统是稳定的、因果的、阶数较高

稳定和线性相位特性是FIR滤波器最突出的优点。

设FIR单位脉冲响应

长度为

，其传输函数 为

（重点）

其中，——幅度特性（重点） ，纯实数，可正可负，即

——相位特性（重点）

线性相位是指是的线性函数，即群时延（常数）

1 线性相位FIR数字滤波器时域约束条件(重点)

1第一类线性相位（严格线性相位特性）对h(n)的约束条件 ，要求 和满足：

2第二类线性相位对h(n)的约束条件 ，要求 和满足：

问：何为线性相位滤波器?FIR滤波器成为线性相位滤波器的充分条件是什么？（重点）

答：线性相位的滤波器是指其相位函数与数字频率成线性关系，即。

FIR滤波器成为线性相位的充分条件是：

①是实数。

②满足以为中心的偶对称或者奇对称，即 。

2．线性相位FIR滤波器幅度特性的特点(重点)

（1）h(n)=h(N-1-n)，N为奇数——1型

（2）h(n)=h(N-1-n)，N为偶数——2型

（3）h(n)=-h(N-1-n)，N为奇数——3型

（4）h(n)=-h(N-1-n)，N为偶数——4型

类型

h(n)

Hg(ω)

1型

h (n)= h (N-1-n)， N 为奇数

Hg(ω)关于ω=0、π、2π偶对称

2型

h (n)= h (N-1-n)， N 为偶数

Hg(ω)关于ω=0、2π偶对称，关于ω=π奇对称

3型

h (n)=- h (N-1-n)， N 为奇数

Hg(ω)关于ω=0、π、2π奇对称

4型

h (n)=- h (N-1-n)， N 为偶数

Hg(ω)关于ω=0、2π奇对称，关于ω=π偶对称

实际使用时，一般来说，1型适合构成低通、高通、带通、带阻滤波器；2型适合构成低通、带通滤波器；3型适合构成带通滤波器；4型适合构成高通、带通滤波器。(重点)

举例说明(重点)：

系统函数：

差分方程：

因为为奇对称，N=6为偶数。所以是4型 （第二类线性相位、N为偶数情况 ）

3．线性相位FIR滤波器零点分布特点

由于，线性相位FIR滤波器的系统函数的零点分布具有如下特点：如果是的零点，其倒数也必然是其零点；因为是实序列，故的零点也必定共轭成对，所以和也是其零点。只要知道其中一个，其他三个也就确定了。所以，零点必是互为倒数的共轭对 。(重点)

7.2窗函数法设计线性相位FIR滤波器的一般步骤

通过第6章可知IIR数字滤波器的设计的主要方法是先设计一个模拟低通滤波器，然后把它转换成形式的数字滤波器。但是对于FIR滤波器来说，设计方法的关键要求之一就是保证线性相位条件。而IIR滤波器的设计方法中只对幅度特性进行了设计故无法保证这一点。所以，FIR滤波器的设计需要采用完全不同的方法。FIR滤波器的设计方法主要有窗函数法、频率采样法、切比雪夫逼近法等。

FIR滤波器的窗函数法设计思想 是：在保证线性相位条件的前提下，选择合适的长度，使其传输函数满足技术指标要求。用一个长度为的序列替代无限长作为实际设计的滤波器的的单位脉冲响应，其系统函数为这种设计思想称为窗函数设计法 。显然在保证对称性的前提下，窗函数长度越长，则越接近。但是误差是肯定存在的，这种误差称为截断误差。

对FIR滤波器的影响： 由于加窗后无限长的变为有限长的，肯定会引起误差，表现在频域就是通常所说的吉布斯（Gibbs）效应 。吉布斯效应直接影响滤波的性能，导致通带内的平稳性变差和阻带衰减不能满足技术指标。通常滤波器设计都要求过渡带越窄越好，阻带衰减越大越好。所以设计滤波器的方法要使吉布斯效应的影响降低到最小。调整窗口长度N只能有效的控制过渡带的宽度，并不能减少带内波动以及增大阻带衰减。要想减小吉布斯效应的影响，增加是无法实现的。如果改变窗函数的形状，使其幅度函数具有较低的旁瓣幅度，就可减小通带、阻带的波动，并加大阻带衰减。但是这时主瓣将会加宽以包含更多的能量，故而将会增加过渡带宽度。所以当一定时，减小波动和减小过渡带是一对矛盾。必须根据实际要求，选择合适的窗函数以满足波动要求，然后选择满足过渡带指标。

设计步骤： （1）根据对阻带衰减以及过渡带的指标要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度N；（2）构造希望逼近的频率响应函数，即（3）计算：如果给出待求滤波器的频响函数为，那么在单位脉冲响应作用下：；（4）加窗得到设计结果：

简答题(重点)：

1. 用窗口法设计FIR数字滤波器时，为了改善阻带的衰减特性，窗函数形状需要满足的两个标准是什么？

对窗口函数形状要求：(1)尽量减少窗口频谱中的旁瓣，使能量尽量集中在主瓣中，这样可减少上冲和余振，提高阻带衰减。(2)主瓣宽度尽量窄，以获得较陡的过渡带。

2. 什么是吉布斯现象（效应）？如何有效减少该效应的影响？（有限长的序列h(n)去代替无限长的hd(n)，肯定会引起误差，表现在频域就是通常所说的吉布斯（Gibbs）效应。该效应引起过渡带加宽以及通带和阻带内的波动，尤其使阻带的衰减小，从而满足不了技术上的要求。减少该效应只能从窗函数的形状上找解决问题的方法。构造新的窗函数形状，使其谱函数的主瓣包含更多的能量，相应旁瓣幅度更小。旁瓣的减小可使通带、阻带波动减小，从而加大阻带衰减。）

3. 窗口法设计FIR数字滤波器，改变窗的宽度对滤波器的频率特性有什么影响？

4. 简要说明窗函数法设计线性相位FIR滤波器的一般步骤。

5. 综述数字滤波器的两个主要分类IIR和FIR滤波器的特点和设计方法的不同。

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